Question

正方形ABCD中，點(diǎn)F為正方形ABCD內(nèi)的點(diǎn)，△BFC繞著點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)90°后與△BEA重合．
（1）如圖1，若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，BE=1，F(xiàn)C=，求證：AE∥BF；
（2）如圖2，若點(diǎn)F為正方形ABCD對(duì)角線AC上的點(diǎn)，且AF：FC=3：1，BC=2，求BF的長(zhǎng)．

Answer 1

解：（1）證明：∵△BFC繞著點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)90°后與△BEA重合
∴BE=BF=1，∠EBF=∠ABC=90°，∠AEB=∠BFC
在△BFC中，
∵，
BC²=2²=4
∴BF²+FC²=BC²
∴∠BFC=90°…
∴∠AEB+∠EBF=180°
∴AE∥BF…
（2）解：∵Rt△ABC中，AB=BC=2，由勾股定理，得
AC==2．
∵AF：FC=3：1，
∴AF=AC=，F(xiàn)C=AC=
∵△BFC繞著點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)90°后與△BEA重合
∴∠EAB=∠FCB，BE=BF，，
∵四邊形ABCD是正方形
∴∠ABC=90°
∴∠BAC+∠ACB=90°
∴∠EAB+∠BAC=90°
即∠EAF=90°
在Rt△EAF中，，
在Rt△EBF中，EF²=BE²+BF²
∵BE=BF
∴．
分析：（1）由條件可以得出△BFE是直角三角形，就有∠BFC=90°，由旋轉(zhuǎn)可得∠EBF=∠AEB=90°，就有∴∠AEB+∠EBF=180°，從而得出結(jié)論．
（2）在正方形中根據(jù)勾股定理可以求出AC，由AF：FC=3：1可以求出AF、CF的長(zhǎng)．由旋轉(zhuǎn)可以求出AE=CF，BE=BF，∠BEF=90°，△AEF是直角三角形，從而求出EF的長(zhǎng)．進(jìn)而由勾股定理可以求出BF的值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理、勾股定理的逆定理的運(yùn)用，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行線的判定，在解答的過(guò)程中要注意旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的不變量的運(yùn)用．