【題目】已知E,F(xiàn)分別是AB、CD上的動點,P也為一動點.
(1)如圖1,若AB∥CD,求證:∠P=∠BEP+∠PFD;
(2)如圖2,若∠P=∠PFD﹣∠BEP,求證:AB∥CD;
(3)如圖3,AB∥CD,移動E,F(xiàn)使得∠EPF=90°,作∠PEG=∠BEP,求 的值.

【答案】
(1)解:過P作PQ∥AB,

∵AB∥CD,

∴PQ∥CD,

∴∠BEP=∠1,∠2=∠PFD,

∵∠EPF=∠1+∠2,

∴∠EPF=∠BEP+∠PFD


(2)證明:∵∠BGP是△PEG的外角,

∴∠P=∠BGP﹣∠BEP.

∵∠P=∠PGB﹣∠BEP,

∴∠PFD=∠PGB,

∴AB∥CD


(3)解:由(1)的結(jié)論∠EPF=∠BEP+∠PFD=90°,

設(shè)∠PFD=x,則∠BEP=90°﹣x,

∵∠PEG=∠BEP=90°﹣x,

∴∠AEG=180°﹣2(90°﹣x)=2x,則 = =2


【解析】(1)過P作PQ平行于AB,由AB與CD平行,得到PQ與CD平行,利用兩直線平行內(nèi)錯角相等得到兩對角相等,再由∠EPF=∠1+∠2,等量代換就可得證;(2)先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠P=∠BGP﹣∠BEP,再由∠P=∠PGB﹣∠BEP可知,∠PFD=∠PGB,由此可得出結(jié)論;(3)由(1)中的結(jié)論∠EPF=∠BEP+∠PFD,設(shè)設(shè)∠PFD=x,則∠BEP=90°﹣x,根據(jù)∠PEG=∠BEP=90°﹣x,利用平角定義表示出∠AEG,即可求出所求比值.
【考點精析】關(guān)于本題考查的平行線的判定與性質(zhì),需要了解由角的相等或互補(數(shù)量關(guān)系)的條件,得到兩條直線平行(位置關(guān)系)這是平行線的判定;由平行線(位置關(guān)系)得到有關(guān)角相等或互補(數(shù)量關(guān)系)的結(jié)論是平行線的性質(zhì)才能得出正確答案.

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