Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC的A、B兩個(gè)頂點(diǎn)在x軸上，頂點(diǎn)C在y軸的負(fù)半軸上．已知|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，△ABC的面積S_△ABC=15，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)．
（1）求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）在拋物線上是否存在異于B、C的點(diǎn)M，使△MBC中BC邊上的高為7

2

？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，△ABC的面積S_△ABC=15，設(shè)|OB|=|OC|=5|OA|=5m，可得（m+5m）×5m=15，求出m的值，從而得到A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；
（2）利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)解析式設(shè)出函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于n的方程，解答即可．

解答：解：（1）∵|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，
∴設(shè)|OB|=|OC|=5|OA|=5m，
∵S_△ABC=15，
∴

1

2

（m+5m）×5m=15，
∴m=1，
∴|OB|=|OC|=5，
|OA|=1，
∵拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)A（-1，0）B（5，0）C（0，-5），
設(shè)二次函數(shù)解析式為y=ax²+bx+c，
把A（-1，0）B（5，0）C（0，-5）分別代入解析式得，

a-b+c=0 25a+5b+c=0 c=-5

，
解得

a=1 b=-4 c=-5

，
∴a=1，b=-4，c=-5，
∴y=x²-4x-5．

（2）設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，把（5，0），（0，-5）分別代入解析式得：

5k+b=0 b=-5

，
解得

k=1 b=-5

，
則一次函數(shù)解析式為y=x-5 即x-y-5=0，
設(shè)M的坐標(biāo)為（n，n²-4n-5），
代入點(diǎn)到直線的距離公式得：\frac|n+(-1)(n2-4n-5)+(-5)|=7

2

，
整理得：①n²-5n+14=0，
∵△=25-56=-31＜0，
∴方程無解；
②n²-5n-14=0，
解得：n=-2或n=7．
故M點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，7），（7，16）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式和二次函數(shù)解析式、三角形的面積求法、點(diǎn)到直線的距離公式等．計(jì)算量較大，涉及面較廣，要認(rèn)真對(duì)待．