Question

【題目】如圖，在等腰直角中， ，是斜邊的中點(diǎn)，點(diǎn)、分別在直角邊、上，且，交于點(diǎn)．則下列結(jié)論：①圖形中全等的三角形只有兩對(duì)；②的面積等于四邊形面積的2倍；③；④．其中正確的結(jié)論有_______________________________（填序號(hào)）

Answer 1

【答案】②③④

【解析】

根據(jù)全等三角形的判定方法可判斷結(jié)論①錯(cuò)誤，由全等三角形的性質(zhì)可以判斷而正確，利用全等三角形和等腰直角三角形的性質(zhì)可以判斷③正確，利用全等三角形、等腰直角三角形和勾股定理判斷④正確．

解：結(jié)論①錯(cuò)誤．理由如下：

圖中全等的三角形有3對(duì)，分別為△AOC≌△BOC，△AOD≌△COE，△COD≌△BOE．

由等腰直角三角形的性質(zhì)，可知OA=OC=OB，

在△AOC與△BOCE中，

，

∴△AOC≌△BOC．

∵OC⊥AB，OD⊥OE，

∴∠AOD=∠COE．

在△AOD與△COE中，

，

∴△AOD≌△COE（ASA）．

同理可證：△COD≌△BOE，故①錯(cuò)誤；

∵△AOD≌△COE，

∴S△AOD=S△COE，

∴S四邊形CDOE=S△COD+S△COE=S△COD+S△AOD=S△AOC=S△ABC，

即△ABC的面積等于四邊形CDOE的面積的2倍，故②正確；

∵△AOD≌△COE，

∴CE=AD，

∴CD+CE=CD+AD=AC=OA，故③正確；

∵△AOD≌△COE，

∴AD=CE；

∵△COD≌△BOE，

∴BE=CD．

在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD2+CE2=DE2，

∴AD2+BE2=DE2．

∵△AOD≌△COE，

∴OD=OE，

又∵OD⊥OE，

∴△DOE為等腰直角三角形，

∴DE2=2OE2，∠DEO=45°，

∴AD2+BE2=2OE2．

∵S△DOE=,

∴OE2=2S△DOE，

∴AD2+BE2=4 S△DOE，故④正確．

綜上所述，正確的結(jié)論是②③④．

故答案為：②③④．