Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c過點(diǎn)B（3，0），C（0，3），D為拋物線的頂點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式以及頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）如果點(diǎn)C關(guān)于拋物線y=﹣x2+bx+c對稱軸的對稱點(diǎn)為E點(diǎn)，連接BC，BE，求tan∠CBE的值；
（3）點(diǎn)M是拋物線對稱軸上一點(diǎn)，且△DAM和△BCE相似，求點(diǎn)M坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵拋物線y=﹣x2+bx+c過點(diǎn)B（3，0），C（0，3），

∴ ，解得 ，

∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3，

∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4）

（2）解：拋物線的對稱軸為直線x=1，

∵點(diǎn)C與E點(diǎn)為拋物線上的對稱點(diǎn)，

∴E（2，3），

作EH⊥BC于H，如圖1，

∵OC=OB，

∴△OBC為等腰直角三角形，

∴∠OCB=45°，BC= OB=3 ，

∴∠ECB=45°，

∴△CHE為等腰直角三角形，

∴CH=EH= CE= ，

∴BH=BC﹣CH=2 ，

在Rt△BEH中，tan∠EBH= = = ，

即tan∠CBE的值為 ；

（3）解：直線x=﹣1交x軸于F，如圖2，

當(dāng)y=0時(shí)，﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3，則A（﹣1，0）

∵A（﹣1，0），D（1，4），

∴AF=2，DF=4，

∴tan∠ADF= = ，

而tan∠CBE= ，

∴∠CBE=∠ADF，

AD= =2 ，BE= = ，BC=3 ，

當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)D的下方時(shí)，設(shè)M（1，m），

當(dāng) = 時(shí)，△DAM∽△BCE，

即 = ，解得m= ，

此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（1， ）；

當(dāng) = 時(shí)，△DAM∽△BEC，

即 = ，解得m=﹣2，

此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，﹣2）；

當(dāng)點(diǎn)M在D點(diǎn)上方時(shí)，則∠ADM與∠CBE互補(bǔ)，則△DAM和△BCE不相似，

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)M坐標(biāo)為（1， ），（1，﹣2）

【解析】（1）利用待定系數(shù)法求拋物線，然后把解析式配成頂點(diǎn)式，從而得到D的坐標(biāo)；（2）先利用拋物線的對稱性得到E（2，3），作EH⊥BC于H，如圖1，易得△OBC為等腰直角三角形得到∠OCB=45°，BC= OB=3 ，接著判斷△CHE為等腰直角三角形得到CH=EH= CE= ，所以BH=2 ，然后利用正切的定義求解；（3）直線x=﹣1交x軸于F，如圖2，解方程﹣x2+2x+3=0得A（﹣1，0），再利用正切定義得到tan∠AD= ，所以∠CBE=∠ADF，根據(jù)相似三角形的判定方法，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)D的下方時(shí)，設(shè)M（1，m），當(dāng) = 時(shí)，△DAM∽△BCE；當(dāng) = 時(shí)，△DAM∽△BEC，于是利用相似比得到關(guān)于m的方程，解方程求出m即可得到對應(yīng)的M點(diǎn)的坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)M在D點(diǎn)上方時(shí)，則∠ADM與∠CBE互補(bǔ)，則可判斷△DAM和△BCE不相似，
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握測高：測量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常用“在同一時(shí)刻物高與影長成比例”的原理解決；測距：測量不能到達(dá)兩點(diǎn)間的舉例，常構(gòu)造相似三角形求解才能正確解答此題．