Question

【題目】如圖，中，，現(xiàn)有兩點(diǎn)、分別從點(diǎn)A、點(diǎn)B同時出發(fā)，沿三角形的邊運(yùn)動，已知點(diǎn)M的速度為1cm/s，點(diǎn)N的速度為2 cm/s.當(dāng)點(diǎn)N第一次到達(dá)B點(diǎn)時，、同時停止運(yùn)動.

（1）點(diǎn)、運(yùn)動幾秒時，、兩點(diǎn)重合？

（2）點(diǎn)、運(yùn)動幾秒時，可得到等邊三角形？

（3）當(dāng)點(diǎn)、在BC邊上運(yùn)動時，能否得到以MN為底邊的等腰三角形AMN？如存在，請求出此時、運(yùn)動的時間.

Answer 1

【答案】（1）12；（2）4；（3）能，此時M、N運(yùn)動的時間為16秒．

【解析】

（1）首先設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動x秒后，M、N兩點(diǎn)重合，表示出M，N的運(yùn)動路程，N的運(yùn)動路程比M的運(yùn)動路程多12cm，列出方程求解即可；

（2）根據(jù)題意設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動t秒后，可得到等邊三角形△AMN，然后表示出AM，AN的長，由于∠A等于60°，所以只要AM=AN，三角形ANM就是等邊三角形；

（3）首先假設(shè)△AMN是等腰三角形，可證出△ACM≌△ABN，可得CM=BN，設(shè)出運(yùn)動時間，表示出CM，NB，NM的長，列出方程，可解出未知數(shù)的值．

（1）設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動x秒時，M、N兩點(diǎn)重合，

x×1+12=2x，

解得：x=12；

（2）設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動t秒時，可得到等邊三角形△AMN，如圖①，

AM=t×1=t，AN=AB﹣BN=12﹣2t．

∵三角形△AMN是等邊三角形，∴t=12﹣2t，

解得：t=4，∴點(diǎn)M、N運(yùn)動4秒時，可得到等邊三角形△AMN．

（3）當(dāng)點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動時，可以得到以MN為底邊的等腰三角形，

由（1）知12秒時M、N兩點(diǎn)重合，恰好在C處，

如圖②，假設(shè)△AMN是等腰三角形，∴AN=AM，∴∠AMN=∠ANM，∴∠AMC=∠ANB．

∵AB=BC=AC，∴△ACB是等邊三角形，∴∠C=∠B，

在△ACM和△ABN中，

∵，∴△ACM≌△ABN，∴CM=BN，

設(shè)當(dāng)點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動時，M、N運(yùn)動的時間y秒時，△AMN是等腰三角形，∴CM=y﹣12，NB=36﹣2y，CM=NB，

y﹣12=36﹣2y，

解得：y=16．故假設(shè)成立，∴當(dāng)點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動時，能得到以MN為底邊的等腰三角形AMN，此時M、N運(yùn)動的時間為16秒．