Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A坐標(biāo)為（2，0），以OA為邊在第一象限內(nèi)作等邊△OAB，C為x軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（OC＞2），連接BC，以BC為邊在第一象限內(nèi)作等邊△BCD，直線DA交y軸于E點(diǎn)．

（1）求證：△OBC≌△ABD

（2）隨著C點(diǎn)的變化，直線AE的位置變化嗎？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，請(qǐng)求出直線AE的解析式．

（3）以線段BC為直徑作圓，圓心為點(diǎn)F，當(dāng)C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，直線EF∥直線BO；這時(shí)⊙F和直線BO的位置關(guān)系如何？請(qǐng)給予說(shuō)明．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）直線AE的位置不變，AE的解析式為：；（3）C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到處時(shí)，直線EF∥直線BO；此時(shí)直線BO與⊙F相切，理由見(jiàn)解析.

【解析】

（1）由等邊三角形的性質(zhì)可得到OB=AB，BC=BD，∠OBA=∠DBC，等號(hào)兩邊都加上∠ABC，得到∠OBC=∠ABD，根據(jù)“SAS”得到△OBC≌△ABD.（2）先由三角形全等，得到∠BAD=∠BOC=60°，由等邊△BCD，得到∠BAO=60°，根據(jù)平角定義及對(duì)頂角相等得到∠OAE=60°，在直角三角形OAE中，由OA的長(zhǎng)，根據(jù)tan60°的定義求出OE的長(zhǎng)，確定出點(diǎn)E的坐標(biāo)，設(shè)出直線AE的方程，把點(diǎn)A和E的坐標(biāo)代入即可確定出解析式.（3）由EA∥OB，EF∥OB，根據(jù)過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線有且只有一條，得到EF與EA重合，所以F為BC與AE的交點(diǎn)，又F為BC的中點(diǎn)，得到A為OC中點(diǎn)，由A的坐標(biāo)即可求出C的坐標(biāo)；相切理由是由F為等邊三角形BC邊的中點(diǎn)，根據(jù)“三線合一”得到DF與BC垂直，由EF與OB平行得到BF與OB垂直，得證.

（1）證明：∵△OAB和△BCD都為等邊三角形，
∴OB=AB，BC=BD，∠OBA=∠DBC=60°，

∴∠OBA+∠ABC=∠DBC+∠ABC，
即∠OBC=∠ABD，

在△OBC和△ABD中，

,

∴△OBC≌△ABD.

（2）隨著C點(diǎn)的變化，直線AE的位置不變，

∵△OBC≌△ABD，

∴∠BAD=∠BOC=60°，
又∵∠BAO=60°，

∴∠DAC=60°，
∴∠OAE=60°，又OA=2，
在Rt△AOE中，tan60°=，
則OE=2，

∴點(diǎn)E坐標(biāo)為（0，-2），

設(shè)直線AE解析式為y=kx+b，把E和A的坐標(biāo)代入得：

，

解得， ，

∴直線AE的解析式為：.

（3）C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到處時(shí)，直線EF∥直線BO；此時(shí)直線BO與⊙F相切，理由如下：
∵∠BOA=∠DAC=60°，EA∥OB，又EF∥OB，
則EF與EA所在的直線重合，

∴點(diǎn)F為DE與BC的交點(diǎn)，
又F為BC中點(diǎn)，

∴A為OC中點(diǎn)，又AO=2，則OC=4，
∴當(dāng)C的坐標(biāo)為（4，0）時(shí)，EF∥OB，
這時(shí)直線BO與⊙F相切，理由如下：
∵△BCD為等邊三角形，F為BC中點(diǎn)，
∴DF⊥BC，又EF∥OB，
∴FB⊥OB，

∴直線BO與⊙F相切，