【題目】(題文)直角三角形有一個非常重要的性質(zhì)質(zhì):直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,比如:如圖1,Rt△ABC,∠C=90°,D為斜邊AB中點,CD=AD=BD=-AB.請你利用該定理和以前學(xué)過的知識解決下列問題:

在△ABC,直線繞頂點A旋轉(zhuǎn).

(1)如圖2,若點PBC邊的中點,B、P在直線的異側(cè),BM⊥直線于點M,CN⊥直線于點N,連接PM、PN.求證:PM=PN;

(2)如圖3,若點B、P在直線的同側(cè),其它條件不變,此時PM=PN還成立嗎?若成立,請給予證明;若不成立,請說明理由;

(3)如圖4,∠BAC=90°,直線旋轉(zhuǎn)到與BC垂直的位置,EAB上一點且AE=AC,EN⊥N,連接EC,EC中點P,連接PM、PN,求證:PM⊥PN.

【答案】(1)證明見解析(2)PM=PN(3)證明見解析

【解析】

(1)如圖2中,延長NPBM的延長線于G.只要證明△PNC≌△PGB,推出PN=PG,再根據(jù)直角三角形斜邊中線定理即可證明.
(2)結(jié)論:PM=PN.延長NPBMG,證明方法類似(1).
(3)如圖4中,延長NPBMG.先證明△EAN≌△CAM,推出EN=AM,AN=CM,再證明△ENP≌△CGP,推出EN=CG=AM,PN=PG,因為AN=CM,所以MG=MN,即可證明PMPN.

(1)證明:如圖2中,延長NPBM的延長線于G.

BMAM,CNAM,

BGCN,

∴∠PCN=PBG,

在△PNC和△PGB中, ,

∴△PNC≌△PGB,

PN=PG,

∵∠NMG=90°,

PM=PN=PG.

(2)解:結(jié)論:PM=PN.

如圖3中,延長NPBMG.

BMAM,CNAM,

BMCN,

∴∠PCN=PBG,

在△PNC和△PGB中, ,

∴△PNC≌△PGB,

PN=PG,

∵∠NMG=90°,

PM=PN=PG.

(3)如圖4中,延長NPBMG.

∵∠EAN+CAM=90°,CAM+ACM=90°,

∴∠EAN=ACM,

在△EAN和△CAM中,

∴△EAN≌△CAM,

EN=AM,AN=CM,

ENCG,

∴∠ENP=CGP,

在△ENP和△CGP中,

∴△ENP≌△CGP,

EN=CG=AM,PN=PG,

AN=CM,

MG=MN,

PMPN.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】圖1為某四邊形ABCD紙片,其中B=70°,C=80°.若將CD迭合在AB上,出現(xiàn)折線MN,再將紙片展開后,M、N兩點分別在AD、BC上,如圖2所示,則MNB的度數(shù)為何?( )

A.90 B.95 C.100 D.105

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(1)如圖①,D、E分別在AC,BC邊上,求證:四邊形ADBF為平行四邊形;

(2)△DEC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn),其它條件不變,如圖②,(1)的結(jié)論是否成立?說明理由.

(3)在圖①中,將△DEC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)一周,其它條件不變,問:旋轉(zhuǎn)角為多少度時.四邊形ADBF為菱形?直接寫出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù).

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【題目】如圖1,直線y=2x﹣2與曲線y= (x>0)相交于點A(2,n),與x軸、y軸分別交于點B,C.

(1)求曲線的解析式;
(2)試求ABAC的值?
(3)如圖2,點E是y軸正半軸上一動點,過點E作直線AC的平行線,分別交x軸于點F,交曲線于點D.是否存在一個常數(shù)k,始終滿足:DEDF=k?如果存在,請求出這個常數(shù)k;如果不存在,請說明理由.

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【題目】如圖,是若干個粗細(xì)均勻的鐵環(huán)最大限度的拉伸組成的鏈條,已知鐵環(huán)粗0.5厘米,每個鐵環(huán)長4.6厘米,設(shè)鐵環(huán)間處于最大限度的拉伸狀態(tài)

(1)填表:

鐵環(huán)個數(shù)

1

2

3

4

鏈條長(cm)

4.6

8.2

_____

____

(2)設(shè)n個鐵環(huán)長為y厘米,請用含n的式子表示y;

(3)若要組成2.17米長的鏈條,至少需要多少個鐵環(huán)?

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【題目】如圖,在矩形ABCD中,E,F(xiàn)分別是邊AB,CD上的點,AE=CF,連接EF,BF;EF與對角線AC交于點O,且BE=BF,∠BEF=2∠BAC,F(xiàn)C=2,則AB的長為

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【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,BD=2AB,ACBD相交于點O,點EF、G分別是OCOB、AD的中點.

求證:(1DE⊥OC;

2EG=EF

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(1)圖中,∠OCE等于多少;
(2)求拋物線的解析式;
(3)拋物線上是否存在點P,使S△PAE=S△CDE?若存在,直接寫出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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