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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠C=30°,以邊上AC上一點O為圓心,OA為半徑作⊙O,⊙O恰好經過邊BC的中點D,并與邊AC相交于另一點F.

(1)求證:BD是⊙O的切線.

(2)若AB=,E是半圓上一動點,連接AE,AD,DE.

填空:

①當的長度是   時,四邊形ABDE是菱形;

②當的長度是   時,△ADE是直角三角.

【答案】(1)證明見解析;(2)①π;②π或π.

【解析】試題分析:1)首先連接OD,由在RtABC中,∠BAC=90°C=30°,O恰好經過邊BC的中點D,易得AB=BD,繼而證得∠ODB=BAC=90°,即可證得結論;

2①易得當DEAC時,四邊形ABDE是菱形,然后求得∠AOE的度數,半徑OD的長,則可求得答案;

②分別從∠ADE=90°,DAE=90°,AED=90°去分析求解即可求得答案.

試題解析:(1)證明:如圖1,連接OD

∵在RtABC中,∠BAC=90°,C=30°,

AB=BC,

DBC的中點,

BD=BC,

AB=BD,

∴∠BAD=BDA

OA=OD,

∴∠OAD=ODA,

∴∠ODB=BAO=90°,

ODBC,

BD是⊙O的切線.

2①當DEAC時,四邊形ABDE是菱形;

如圖2,設DEAC于點M,連接OE,則DE=2DM

∵∠C=30°,

CD=2DM,DE=CD=AB=BC,

∵∠BAC=90°,

DEAB,

∴四邊形ABDE是平行四邊形,

AB=BD,

∴四邊形ABDE是菱形;

AD=BD=AB=CD=BC=,

∴△ABD是等邊三角形,OD=CDtan30°=1,

∴∠ADB=60°,

∵∠CDE=90°﹣C=60°,

∴∠ADE=180°﹣ADB﹣CDE=60°,

∴∠AOE=2ADE=120°,

的長度為: = ;

故答案為: ;

②若∠ADE=90°,則點E與點F重合,此時的長度為: ;

若∠DAE=90°,則DE是直徑,則∠AOE=2ADO=60°,此時的長度為: =π;

AD不是直徑,

∴∠AED≠90°;

綜上可得:當的長度是ππ時,ADE是直角三角形.

故答案為: ππ

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