【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠C=30°,以邊上AC上一點O為圓心,OA為半徑作⊙O,⊙O恰好經過邊BC的中點D,并與邊AC相交于另一點F.
(1)求證:BD是⊙O的切線.
(2)若AB=,E是半圓上一動點,連接AE,AD,DE.
填空:
①當的長度是 時,四邊形ABDE是菱形;
②當的長度是 時,△ADE是直角三角.
【答案】(1)證明見解析;(2)①π;②π或π.
【解析】試題分析:(1)首先連接OD,由在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠C=30°,⊙O恰好經過邊BC的中點D,易得AB=BD,繼而證得∠ODB=∠BAC=90°,即可證得結論;
(2)①易得當DE⊥AC時,四邊形ABDE是菱形,然后求得∠AOE的度數,半徑OD的長,則可求得答案;
②分別從∠ADE=90°,∠DAE=90°,∠AED=90°去分析求解即可求得答案.
試題解析:(1)證明:如圖1,連接OD,
∵在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠C=30°,
∴AB=BC,
∵D是BC的中點,
∴BD=BC,
∴AB=BD,
∴∠BAD=∠BDA,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∴∠ODB=∠BAO=90°,
即OD⊥BC,
∴BD是⊙O的切線.
(2)①當DE⊥AC時,四邊形ABDE是菱形;
如圖2,設DE交AC于點M,連接OE,則DE=2DM,
∵∠C=30°,
∴CD=2DM,∴DE=CD=AB=BC,
∵∠BAC=90°,
∴DE∥AB,
∴四邊形ABDE是平行四邊形,
∵AB=BD,
∴四邊形ABDE是菱形;
∵AD=BD=AB=CD=BC=,
∴△ABD是等邊三角形,OD=CDtan30°=1,
∴∠ADB=60°,
∵∠CDE=90°﹣∠C=60°,
∴∠ADE=180°﹣∠ADB﹣∠CDE=60°,
∴∠AOE=2∠ADE=120°,
∴的長度為: = ;
故答案為: ;
②若∠ADE=90°,則點E與點F重合,此時的長度為: =π;
若∠DAE=90°,則DE是直徑,則∠AOE=2∠ADO=60°,此時的長度為:
∵AD不是直徑,
∴∠AED≠90°;
綜上可得:當的長度是π或π時,△ADE是直角三角形.
故答案為: π或π.
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【題目】某商場購進一種每件價格為100元的新商品,在商場試銷發(fā)現(xiàn):銷售單價x(元/件)與每天銷售量y(件)之間滿足如圖所示的關系:
(1)求出y與x之間的函數關系式;
(2)寫出每天的利潤W與銷售單價x之間的函數關系式;若你是商場負責人,會將售價定為多少,來保證每天獲得的利潤最大,最大利潤是多少?
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【題目】在凸多邊形中, 四邊形有2條對角線, 五邊形有5條對角線, 經過觀察、探索、歸納, 你認為凸八邊形的對角線條數應該是多少條? 簡單扼要地寫出你的思考過程.
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【題目】在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,O為BC的中點。
(1)寫出點O到△ABC的三個頂點A、B、C的距離的大小關系并說明理由;
(2)如果點M、N分別在線段AB、AC上移動,在移動中保持AN=BM,請判斷△OMN的形狀,并證明你的結論。
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,點A坐標為(6,0),點B在y軸的正半軸上,且 =24 ,
(1)求點B坐標;
(2)若點P從B出發(fā)沿y軸負半軸方向運動,速度每秒2個單位,運動時間t秒,△AOP的面積為S,求S與t的關系式,并直接寫出t的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,若S△AOP:S△ABP=1:3,且S△AOP+S△ABP=S△AOB,在線段AB的垂直平分線上是否存在點Q,使得△AOQ的面積與△BPQ的面積相等?若存在,求出Q點坐標;若不存在,請說明理由。
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【題目】愛好思考的小茜在探究兩條直線的位置關系查閱資料時,發(fā)現(xiàn)了“中垂三角形”,即兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”.如圖(1)、圖(2)、圖(3)中,AM、BN是△ABC的中線,AM⊥BN于點P,像△ABC這樣的三角形均為“中垂三角形”.設BC=a,AC=b,AB=c.
【特例探究】
(1)如圖1,當tan∠PAB=1,c=4時,a= ,b= ;
如圖2,當∠PAB=30°,c=2時,a= ,b= ;
【歸納證明】
(2)請你觀察(1)中的計算結果,猜想a2、b2、c2三者之間的關系,用等式表示出來,并利用圖3證明你的結論.
【拓展證明】
(3)如圖4,ABCD中,E、F分別是AD、BC的三等分點,且AD=3AE,BC=3BF,連接AF、BE、CE,且BE⊥CE于E,AF與BE相交點G,AD=3,AB=3,求AF的長.
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