【題目】如圖,已知拋物線與軸交于點(diǎn),且經(jīng)過(guò),兩點(diǎn),點(diǎn)是拋物線頂點(diǎn),是對(duì)稱軸與直線的交點(diǎn),與關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.
(1)求拋物線的解析式;
(2)求證:;
(3)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn),使與相似.若有,請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo);若沒(méi)有,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1);(2)見(jiàn)解析;(3)有,或
【解析】
(1)已知拋物線過(guò)B、C兩點(diǎn),而且兩點(diǎn)的坐標(biāo)都已得出,可用待定系數(shù)法來(lái)求函數(shù)的解析式;
(2)由(1)可得拋物線頂點(diǎn)D(2,1),直線AC的解析式為y=x+3,由E是對(duì)稱軸與直線AC的交點(diǎn),可得E點(diǎn)坐標(biāo),由F與E關(guān)于點(diǎn)D對(duì)稱,可得F點(diǎn)坐標(biāo),從點(diǎn)A、C分別向?qū)ΨQ軸作垂線AM、CN,交對(duì)稱軸于M、N,通過(guò)證明Rt△FAM∽Rt△FCN,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解;
(3)在△FDC中,三內(nèi)角不等,且∠CDF為鈍角,分兩種情況:①若點(diǎn)P在點(diǎn)F下方時(shí),②若點(diǎn)P在點(diǎn)F上方時(shí),討論即可求解.
解:(1)將點(diǎn),代入得
解得,,
所以拋物線的解析式為;
(2)∵
∴拋物線頂點(diǎn),
當(dāng)x=0時(shí),y=3,
∴A(0,3),
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b
把A,C坐標(biāo)代入得
解得
∴直線的解析式為,
由是對(duì)稱軸與直線的交點(diǎn),
當(dāng)x=2時(shí),=5
∴,
由與關(guān)于對(duì)稱,則,
從點(diǎn)分別向?qū)ΨQ軸作垂線,交對(duì)稱軸于,
∴AM=2,MF=10,CN=3,NF=15,
在和中
∵,
所以,
所以;
(3)在中,三內(nèi)角不等,且為鈍角
①若點(diǎn)在點(diǎn)下方時(shí),
在中,為鈍角
因?yàn)?/span>,,,
所以和不相等
所以,點(diǎn)在點(diǎn)下方時(shí),兩三角形不能相似
②若點(diǎn)在點(diǎn)上方時(shí), 由,
當(dāng)∽時(shí),
設(shè)P(2,y)
∵A(0,3),F(2,-7),D(2,-1)C(5,8)
∴AF=,CF=,DF=6,PF=y+7
代入得,
解得y=-3
∴P(2,-3);
當(dāng)∽時(shí),
代入得
解得y=19
∴P;
綜上,點(diǎn)的坐標(biāo)為或.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,在矩形ABCD中,點(diǎn)P是BC邊上一點(diǎn),連接AP交對(duì)角線BD于點(diǎn)E,.作線段AP的中垂線MN分別交線段DC,DB,AP,AB于點(diǎn)M,G,F,N.
(1)求證:;
(2)若,求.
(3)如圖2,在(2)的條件下,連接CF,求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,下列說(shuō)法正確的是( )
A.abc>0B.a﹣b+c=2
C.4ac﹣b2<0D.當(dāng)x>﹣1時(shí),y隨x增大而增大
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,AC為弦,點(diǎn)D為中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D作DE⊥直線AC,垂足為E,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F
(1)求證:EF是⊙O的切線;
(2)若EF=4,sin∠F=,求⊙O的半徑.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)A(a﹣2b,2﹣4ab)在拋物線y=x2+4x+10上,則點(diǎn)A關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為( )
A. (﹣3,7) B. (﹣1,7) C. (﹣4,10) D. (0,10)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=1,AD=2,點(diǎn)E是邊AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),把△BAE沿BE折疊,點(diǎn)A落在A′處,如果A′恰在矩形的對(duì)稱軸上,則AE的長(zhǎng)為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,平行四邊形內(nèi)有兩個(gè)全等的正六邊形,若陰影部分的面積記為,平行四邊形的面積記為,則的值為____.
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【題目】將一個(gè)矩形紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)(點(diǎn)不與點(diǎn)重合),沿著折疊該紙片,得點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn).
(1)如圖①,當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí),求點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)若點(diǎn)落在邊的上方,與分別與邊交于點(diǎn).
①如圖②,當(dāng)時(shí),求點(diǎn)的坐標(biāo);
②當(dāng)時(shí),求點(diǎn)的坐標(biāo)(直接寫出結(jié)果即可).
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【題目】如圖,拋物線交軸于點(diǎn)頂點(diǎn)為軸,交拋物線于點(diǎn)已知該拋物線的對(duì)稱軸為直線.
(1)求的值和點(diǎn)的坐標(biāo).
(2)將拋物線向下平移個(gè)單位,使平移后得到的拋物線頂點(diǎn)落在的內(nèi)部(不包括的邊界),則的取值范圍為 .
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