Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三點(diǎn)．

（1）求拋物線y=ax²+bx+c的解析式；

（2）若點(diǎn)M是該拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，求AM+OM的最小值．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）把A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=ax²+bx+c中，得

，解這個(gè)方程組，得。

∴拋物線的解析式為y=﹣x²+x。

（2）由y=﹣x²+x=﹣（x﹣1）²+，可得

拋物線的對(duì)稱軸為x=1，并且對(duì)稱軸垂直平分線段OB。

∴OM=BM�！郞M+AM=BM+AM。

連接AB交直線x=1于M點(diǎn)，則此時(shí)OM+AM最小。

過(guò)點(diǎn)A作AN⊥x軸于點(diǎn)N，

 

 

在Rt△ABN中，，

因此OM+AM最小值為。

【解析】二次函數(shù)綜合題，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，解方程組，二次函數(shù)的性質(zhì)，線段中垂線的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，勾股定理。

【分析】（1）已知拋物線上不同的三點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出該拋物線的解析。

（2）根據(jù)O、B點(diǎn)的坐標(biāo)發(fā)現(xiàn)：拋物線上，O、B兩點(diǎn)正好關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，那么只需連接A、B，直線AB和拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為符合要求的M點(diǎn)，而AM+OM的最小值正好是AB的長(zhǎng)。

對(duì)x=1上其它任一點(diǎn)M′，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊的性質(zhì)，總有：

O M′+A M′= B M′+A M′＞AB=OM+AM，

即OM+AM為最小值。