【題目】如圖,頂點(diǎn)為A的拋物線y=a(x+2)2﹣4交x軸于點(diǎn)B(1,0),連接AB,過(guò)原點(diǎn)O作射線OM∥AB,過(guò)點(diǎn)A作AD∥x軸交OM于點(diǎn)D,點(diǎn)C為拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn),連接CD.

(1)求拋物線的解析式;
(2)若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā),以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿著射線OM運(yùn)動(dòng),設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒,問(wèn):當(dāng)t為何值時(shí),OB=AP;
(3)若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā),以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段OD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā),以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段CO向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng),當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)它們的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,連接PQ.問(wèn):當(dāng)t為何值時(shí),四邊形CDPQ的面積最?并求此時(shí)PQ的長(zhǎng).

【答案】
(1)解:把(1,0)代入y=a(x+2)2﹣4,

得a=

∴y= (x+2)2﹣4,

即y= x2+ x﹣


(2)解:由題意得OP=t,AB= =5,

若OB∥AP,即四邊形ABOP為平行四邊形時(shí),OB=AP,且OP=AB=5,即當(dāng)t=5時(shí),OB=AP,

若OB不平行于AP,即四邊形ABOP為等腰梯形時(shí),OB=AP,連接AP,過(guò)點(diǎn)P作PG⊥AB,過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AB,垂足分別為G、H,

∴△APG≌△BOH,

在Rt△OBM中,

∵OM= ,OB=1,

∴BM= ,

∴OH=

∴BH= ,

∴OP=GH=AB﹣2BH=

即當(dāng)t= 時(shí),OB=AP


(3)解:將y=0代入y= x2+ x﹣ ,得 x2+ x﹣ =0,

解得x=1或﹣5.

∴C(﹣5,0).

∴OC=5,

∵OM∥AB,AD∥x軸,

∴四邊形ABOD是平行四邊形,

∴AD=OB=1,

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是(﹣3,﹣4),

∴SDOC= ×5×4=10,

過(guò)點(diǎn)P作PN⊥BC,垂足為N.易證△OPN∽△BOH,

= ,

= ,

∴PN= t,

∴四邊形CDPQ的面積S=SDOC﹣SOPQ=10﹣ ×(5﹣2t)× t= t2﹣2t+10,

∴當(dāng)t= 時(shí),四邊形CDPQ的面積S最小,

此時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)是(﹣ ,﹣1),點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(﹣ ,0),

∴PQ= =


【解析】(1)把點(diǎn)B(1,0)代入拋物線的解析式,求出拋物線的解析式;(2)根據(jù)勾股定理求出AB的值,若OB∥AP,即四邊形ABOP為平行四邊形時(shí),OB=AP,且OP=AB,當(dāng)t=5時(shí),OB=AP;若OB不平行于AP,即四邊形ABOP為等腰梯形時(shí),OB=AP,得到△APG≌△BOH,在Rt△OBM中,求出

BM,OH,BH的值,OP=GH=AB﹣2BH的值即可;(3)根據(jù)題意求出C的坐標(biāo),得到OC的值,由OM∥AB,AD∥x軸,得到四邊形ABOD是平行四邊形,AD=OB,求出點(diǎn)D的坐標(biāo),求出SDOC的面積 ,證出△OPN∽△BOH,得到比例,求出PN的值,得到四邊形CDPQ的面積S=SDOC﹣SOPQ,求出PQ的值;此題是綜合題,難度較大,計(jì)算和解方程時(shí)需認(rèn)真仔細(xì).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,對(duì)于點(diǎn)P(xy),我們把P1(y1x1)叫做點(diǎn)P的友好點(diǎn),已知點(diǎn)A1的友好點(diǎn)為A2,點(diǎn)A2的友好點(diǎn)為A3,點(diǎn)A3的友好點(diǎn)為A4,,這樣依次得到各點(diǎn).若A2020的坐標(biāo)為(3,2),設(shè)A1(x,y),則xy的值是(

A.-5B.-1C.3D.5

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,已知平行四邊形,過(guò)于點(diǎn),若在平行四邊形內(nèi)取一點(diǎn),則該點(diǎn)到平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)的距離均不小于1的概率為_______

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某校在藝術(shù)節(jié)宣傳活動(dòng)中,采用了四種宣傳形式:A唱歌,B舞蹈,C朗誦,D器樂(lè).全校的每名學(xué)生都選擇了一種宣傳形式參與了活動(dòng),小明對(duì)同學(xué)們選用的宣傳形式,進(jìn)行了隨機(jī)抽樣調(diào)查,根據(jù)調(diào)查統(tǒng)計(jì)結(jié)果,繪制了如圖兩種不完整的統(tǒng)計(jì)圖表:

選項(xiàng)

方式

百分比

A

唱歌

35%

B

舞蹈

a

C

朗誦

25%

D

器樂(lè)

30%

請(qǐng)結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖表,回答下列問(wèn)題:

(1)本次調(diào)查的學(xué)生共人,a= , 并將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整 ;
(2)如果該校學(xué)生有2000人,請(qǐng)你估計(jì)該校喜歡“唱歌”這種宣傳形式的學(xué)生約有多少人?
(3)學(xué)校采用調(diào)查方式讓每班在A、B、C、D四種宣傳形式中,隨機(jī)抽取兩種進(jìn)行展示,請(qǐng)用樹(shù)狀圖或列表法,求某班抽到的兩種形式有一種是“唱歌”的概率.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】在△ABC中,AB=AC,∠ABC=90°,D為AC中點(diǎn),點(diǎn)P是線段AD上的一點(diǎn),點(diǎn)P與點(diǎn)A,點(diǎn)D不重合),連接BP.將△ABP繞點(diǎn)P按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α角(0°<α<180°),得到△A1B1P,連接A1B1、BB1
(1)如圖①,當(dāng)0°<α<90°,在α角變化過(guò)程中,請(qǐng)證明∠PAA1=∠PBB2

(2)如圖②,直線AA1與直線PB、直線BB1分別交于點(diǎn)E,F(xiàn).設(shè)∠ABP=β,當(dāng)90°<α<180°時(shí),在α角變化過(guò)程中,是否存在△BEF與△AEP全等?若存在,求出α與β之間的數(shù)量關(guān)系;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;

(3)如圖③,當(dāng)α=90°時(shí),點(diǎn)E、F與點(diǎn)B重合.直線A1B與直線PB相交于點(diǎn)M,直線BB與AC相交于點(diǎn)Q.若AB= ,設(shè)AP=x,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,點(diǎn)P是正方形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn),PEBC于點(diǎn)E,PFCD于點(diǎn)F,連接EF,給出下列五個(gè)結(jié)論:AP=EF;②APEF;③△APD一定是等腰三角形;④∠PFE=BAP;⑤PD=EC,其中正確結(jié)論的序號(hào)是______.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】計(jì)算:計(jì)算與化簡(jiǎn)
(1) ﹣(﹣2)2+(﹣0.1)0;
(2)(x﹣2)2﹣(x+3)(x﹣1).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】小紅同學(xué)在做作業(yè)時(shí),遇到這樣一道幾何題:

已知:ABCDEF,A=110°,ACE=100°,過(guò)點(diǎn)EEHEF,垂足為E,交CDH點(diǎn).

(1)依據(jù)題意,補(bǔ)全圖形;

(2)求∠CEH的度數(shù).

小明想了許久對(duì)于求∠CEH的度數(shù)沒(méi)有思路,就去請(qǐng)教好朋友小麗,小麗給了他如圖2所示的提示

請(qǐng)問(wèn)小麗的提示中理由①是

提示中②是: 度;

提示中③是: 度;

提示中④是: ,理由⑤是

提示中⑥是 度;

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】在如下命題中:(1)過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直;(2)垂線段最短;(3)過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行;(4)內(nèi)錯(cuò)角相等;(5)平行于同一直線的兩直線平行;(6)有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形是真命題的有(

A.個(gè)B.個(gè)C.個(gè)D.個(gè)

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