【題目】閱讀下列材料,并解答后面的問題.
在學(xué)習(xí)了直角三角形的邊角關(guān)系后,小穎和小明兩個學(xué)習(xí)小組繼續(xù)探究任意銳角三角形的邊角關(guān)系:在銳角△ABC中,∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c.
(1)小明學(xué)習(xí)小組發(fā)現(xiàn)如下結(jié)論:
如圖1,過A作AD⊥BC于D,則sinB=,sinC=即AD=csinB,AD=bsinC,于是_____=______即,同理有,
則有
(2)小穎學(xué)習(xí)小組則利用圓的有關(guān)性質(zhì)也得到了類似的結(jié)論:
如圖2,△ABC的外接圓半徑為R,連結(jié)CO并延長交⊙O于點D,連結(jié)DB,則∠D=∠A,
∵CD為⊙O的直徑,∴∠DBC=90°,
在Rt△DBC中,
∵,
∴,
同理:,
則有
請你將這一結(jié)論用文字語言描述出來: .
小穎學(xué)習(xí)小組在證明過程中略去了“”的證明過程,請你把“”的證明過程補寫出來.
(3)直接用前面閱讀材料中得出的結(jié)論解決問題
規(guī)劃局為了方便居民,計劃在三個住宅小區(qū)A、B、C之間修建一座學(xué)校,使它到三個住宅小區(qū)的距離相等,已知小區(qū)C在小區(qū)B的正東方向千米處,小區(qū)A在小區(qū)B的東北方向,且A與C之間相距千米,求學(xué)校到三個小區(qū)的距離及小區(qū)A在小區(qū)C的什么方向?
【答案】(1)csinB,bsinC;(2)在任意一個三角形中,各邊和它所對角的正弦值的比相等且等于外接圓的直徑;(3)學(xué)校到三個小區(qū)的距離為1千米,小區(qū)A在小區(qū)C的北偏西15°的方向.
【解析】
(1)由AD=csinB,AD=bsinC可得答案;
(2)由結(jié)論可總結(jié)為:在任意一個三角形中,各邊和它所對角的正弦值的比相等且等于外接圓的直徑,據(jù)此解答即可;
(3)根據(jù)題意畫出圖形如圖,則∠B=45°,BC=千米,AC=千米,設(shè)學(xué)校的位置為點O,則OA=OB=OC=R,由閱讀材料的結(jié)論可得:,由此即可求出∠BAC的度數(shù)和R的值,進而可求出∠ACB的度數(shù),即得∠ACN的度數(shù),問題即得解決.
解:(1)由AD=csinB,AD=bsinC得:csinB=bsinC;
故答案為:csinB,bsinC;
(2)由這一結(jié)論用文字語言描述出來是:在任意一個三角形中,各邊和它所對角的正弦值的比相等且等于外接圓的直徑.
故答案為:在任意一個三角形中,各邊和它所對角的正弦值的比相等且等于外接圓的直徑;
(3)如圖,由題意得:∠B=45°,BC=千米,AC=千米,設(shè)學(xué)校的位置為點O,則OA=OB=OC=R,
由閱讀材料的結(jié)論可得:,
即,
解得:,千米,
∴∠BAC=60°,
∴∠ACB=180°-45°-60°=75°,
∴∠ACN=15°,即小區(qū)A在小區(qū)C的北偏西15°的方向.
答:學(xué)校到三個小區(qū)的距離為1千米,小區(qū)A在小區(qū)C的北偏西15°的方向.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】二次函數(shù)的部分圖象如圖,圖象過點(﹣1,0),對稱軸為直線,下列結(jié)論:①;②;③;④當(dāng)時, 隨的增大而增大.其中正確的結(jié)論有( )
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD中,E為AB上一點,AF⊥DE于點F,已知DF=5EF=5,過C、D、F的⊙O與邊AD交于點G,則DG=( )
A.2B.C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx﹣3與x軸交于A,B兩點(A點在B點左側(cè)),A(﹣1,0),B(3,0),直線l與拋物線交于A,C兩點,其中C點的橫坐標(biāo)為2.
(1)求拋物線的函數(shù)解析式;
(2)P是線段AC上的一個動點,過P點作y軸的平行線交拋物線于E點,求線段PE長度的最大值;
(3)點G是拋物線上的動點,在x軸上是否存在點F,使A,C,F,G這樣的四個點為頂點的四邊形是平行四邊形?如果存在,求出所有滿足條件的F點坐標(biāo);如果不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我們知道,與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓,則三角形可以稱為圓的外切三角形.如圖1,與的三邊分別相切于點則叫做的外切三角形.以此類推,各邊都和圓相切的四邊形稱為圓外切四邊形.如圖2,與四邊形ABCD的邊分別相切于點則四邊形叫做的外切四邊形.
(1)如圖2,試探究圓外切四邊形的兩組對邊與之間的數(shù)量關(guān)系,猜想: (橫線上填“>”,“<”或“=”);
(2)利用圖2證明你的猜想(寫出已知,求證,證明過程);
(3)用文字?jǐn)⑹錾厦孀C明的結(jié)論: ;
(4)若圓外切四邊形的周長為相鄰的三條邊的比為,求此四邊形各邊的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校為響應(yīng)我市全民閱讀活動,利用節(jié)假日面向社會開放學(xué)校圖書館據(jù)統(tǒng)計,第一個月進館128人次,進館人次逐月增加,到第三個月末累計進館608人次,若進館人次的月平均增長率相同.
(1)求進館人次的月平均增長率;
(2)因條件限制,學(xué)校圖書館每月接納能力不超過500人次,在進館人次的月平均增長率不變的條件下,校圖書館能否接納第四個月的進館人次,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點A的坐標(biāo)為(2,1),點B的坐標(biāo)為(2,9),點C到直線AB的距離為4,且△ABC是直角三角形,則滿足條件的點C有_____個.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,已知矩形ABCD,AB=4,AD=3,點E為邊DC上不與端點重合的一個動點,連接BE,將BCE沿BE翻折得到BEF,連接AF并延長交CD于點G,則線段CG的最大值是( )
A.1B.1.5C.4-D.4-
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