【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,、分別為軸、軸正半軸上的點,以、為邊,在一象限內(nèi)作矩形,且.將矩形翻折,使點與原點重合,折痕為,點的對應(yīng)點落在第四象限,過點的反比例函數(shù),其圖象恰好過的中點,則點的坐標(biāo)為________.
【答案】(,).
【解析】
連接BO與MN交于點Q,過點Q作QG⊥x軸,垂足為G,可通過三角形全等證得BO與MN的交點就是MN的中點Q,由相似三角形的性質(zhì)可得S△OGN= S△OCB,根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義可求出k,從而求出S△OAM,進(jìn)而可以得到AB=4AM,即BM=3AM.由軸對稱的性質(zhì)可得OM=BM,從而得到OM=3AM,也就有AO=2AM,根據(jù)△OAM的面積可以求出AM,OA的值.易證四邊形OAEH為矩形,從而得到MH=OA,就可求出MH的值,問題得解.
解:連接BO與MN交于點Q,過點Q作QG⊥x軸,垂足為G,如圖所示,
∵矩形OABC沿MN翻折,點B與點O重合,
∴BQ=OQ,BM=MO.
∵四邊形OABC是矩形,
∴AB∥CO,∠BCO=∠OAB=90°.
∴∠MBQ=∠NOQ.
在△BMQ和△ONQ中, .
∴△BMQ≌△ONQ(ASA).
∴MQ=NQ.
∴點Q是MN的中點.
∵∠QGO=∠BCO=90°,
∴QG∥BC.
∴△OGQ∽△OCB.
∴.
∵S矩形OABC= ,
∴S△OCB=S△OAB=.
∴.
∵點Q在反比例函數(shù)y=上,
∴,解得:.
∴S△OAM= .
∵S△OAB= ,
∴AB=4AM.
∴BM=3AM.
由軸對稱的性質(zhì)可得:OM=BM.
∴OM=3AM.OA=
∴S△OAM=AOAM=×2AM×AM=.
解得:AM=.
∴OA=2×= .
∴M點坐標(biāo)為(,).
故答案為:(,).
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【題目】在中,,,.動點分別從點同時出發(fā),點以每秒1個單位的速度沿勻速運動.點沿折線向終點勻速運動,在上的速度分別是每秒個單位、每秒2個單位.當(dāng)點停止時,點也隨之停止運動.連按,將繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)得到,連按,設(shè)點的運動時間為.
(1)用含的代數(shù)式表示的長.
(2)當(dāng)點與的頂點重合時,求的長.
(3)設(shè)的面積為,求與之間的函數(shù)關(guān)系式.
(4)點出發(fā)后,當(dāng)與的邊所夾的角被平分時,直按寫出的值.
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【題目】已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點.
(1)當(dāng)時,若點在該二次函數(shù)的圖象上,求該二次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)已知點,在該二次函數(shù)的圖象上,求的取值范圍;
(3)當(dāng)時,若該二次函數(shù)的圖象與直線交于點,,且,求的值.
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【題目】如圖,已知四邊形ABCD是菱形,BC∥x軸,點B的坐標(biāo)是(1,),坐標(biāo)原點O是AB的中點.動圓⊙P的半徑是,圓心在x軸上移動,若⊙P在運動過程中只與菱形ABCD的一邊相切,則點P的橫坐標(biāo)m 的取值范圍是_________.
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【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,C、D為⊙O上不同于A、B的兩點,∠ABD=2∠BAC,連接CD,過點C作CE⊥DB,垂足為E,直徑AB與CE的延長線相交于F點.
(1)求證:CF是⊙O的切線;
(2)當(dāng)BD=,sinF=時,求OF的長.
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【題目】已知:如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于一、三象限內(nèi)的,兩點,與軸交于點,點的坐標(biāo)為,點的坐標(biāo)為,.
(1)求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;
(2)直接寫出關(guān)于的不等式的解集;
(3)連接,求的面積.
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【題目】如圖1,已知拋物線過點.
(1)求拋物線的解析式及其頂點C的坐標(biāo);
(2)設(shè)點D是x軸上一點,當(dāng)時,求點D的坐標(biāo);
(3)如圖2.拋物線與y軸交于點E,點P是該拋物線上位于第二象限的點,線段PA交BE于點M,交y軸于點N,和的面積分別為,求的最大值.
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【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,E為BC的中點,BC=2AD,EA=ED,AC與ED相交于點F.
(1)求證:四邊形AECD是平行四邊形;
(2)試探究AB、CD之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(3)當(dāng)AB與AC具有什么位置關(guān)系時,四邊形AECD是菱形?請說明理由;若EA=ED=2,求此時菱形AECD的面積.
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