【題目】如圖,正方形ABCD的邊長為8cm,分別過四個頂點A、B、C、D做四條直線EF、FG、GH、HE,并保證相鄰兩條直線垂直,相交于E、F、G、H四點,且AE=BF=CG=DH.
(1)求證:四邊形EFGH是正方形;
(2)判斷無論如何按照上述要求作圖,線段EG、AC的中點是否重合,并說明理由;
(3)判斷四邊形EFGH的面積有無最大值,若有請寫出面積最大值,并說明理由.
【答案】(1)證明見解析;(2)線段EG、AC的中點重合,理由見解析;(3)面積最大值為128cm2,理由見解析.
【解析】試題分析:(1)由正方形的性質(zhì)得出∠BAD=∠B=∠BCD=∠D=90°,AB=BC=CD=DA,證出AH=BE=CF=DG,由SAS證明△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG,得出EH=FE=GF=GH,∠AEH=∠BFE,證出四邊形EFGH是菱形,再證出∠HEF=90°,即可得出結(jié)論;(2)連接AC、EG,交點為O;先證明△AOE≌△COG,得出OA=OC,證出O為對角線AC、BD的交點,即O為正方形的中心;(3)理由敘述合理即可.
(1)∵相鄰兩條邊互相垂直,
∴∠E=∠F=∠G=∠H=90°,
又∵AE=BF=CG=DH,AB=BC=CD=DA,
∴△EAB≌△FBC≌△GCD≌△HAD,
∴AH=BE=CF=DG,
∴EF=FG=GH=HE,
∵相鄰兩條邊互相垂直,
∴四邊形EFGH是正方形;
(2)(證法不唯一)
線段EG、AC的中點重合.
連結(jié)EC、AG,
∵AE= CG,且AE∥CG,
∴四邊形AECG為平行四邊形,
∴線段EG、AC的中點重合.
(3)有最大值,面積最大值為128cm2.如圖,
當ABCD分別為各邊中點時,四邊形EFGH面積最大.(理由敘述合理即可.)
例如:在各種情況中當ABCD分別為各邊中點時,四邊形EFGH邊長為正方形ABCD對角線,其他情況中邊長都比對角線小.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下列命題中不成立的是( )
A.矩形的對角線相等
B.三邊對應相等的兩個三角形全等
C.兩個相似三角形面積的比等于其相似比的平方
D.一組對邊平行,另一組對邊相等的四邊形一定是平行四邊形
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(2016山東省泰安市第22題)如圖,半徑為3的⊙O與Rt△AOB的斜邊AB切于點D,交OB于點C,連接CD交直線OA于點E,若∠B=30°,則線段AE的長為 .
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某旅游景點2015年六月份共接待游客25萬人次,八月份共接待游客64萬人次,設六至八月每月游客人次的平均增長率為x,則可列方程為( )
A.25(1+x)2=64
B.25(1﹣x)2=64
C.64(1+x)2=25
D.64(1﹣x)2=25
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是( )
A.x1=﹣1,x2=﹣2
B.x1=1,x2=﹣2
C.x1=1,x2=2
D.x1=﹣1,x2=2
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,AD為△ABC的中線,BE為△ABD的中線.
(1)∠ABE=15°,∠BAD=40°,求∠BED的度數(shù);
(2)作△BED的邊BD邊上的高;
(3)若△ABC的面積為40,BD=5,則△BDE 中BD邊上的高為多少?
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