Question

如圖（1），P為△ABC所在平面上一點(diǎn)，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，則點(diǎn)P叫做△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．
如圖（2），在銳角△ABC外側(cè)作等邊△ACB′連接BB′．
求證：BB′過△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P，且BB′=PA+PB+PC．

Answer 1

證明：在BB′上取點(diǎn)P，使∠BPC=120°，
連接AP，再在PB′上截取PE=PC，連接CE，
∵∠BPC=120°，
∴∠EPC=60°，
∴△PCE為正三角形，
∴PC=CE，∠PCE=60°，∠CEB′=120°，
∵△ACB′為正三角形，
∴AC=B′C，∠ACB′=60°，
∴∠PCA+∠ACE=∠ACE+∠ECB′=60°，
∴∠PCA=∠ECB′，
∴△ACP≌△B′CE，
∴∠APC=∠B′EC=120°，PA=EB′，
∴∠APB=∠APC=∠BPC=120°，
∴P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，
∴BB′過△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P，且BB′=EB′+PB+PE=PA+PB+PC．