Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，∠BAD、∠ABC的平分線AF、BG分別與線段CD交于點F、G，
AF與BG交于點E．
（1）求證：AF⊥BG，DF=CG；
（2）若AB=10，AD=6，AF=8，求FG和BG的長度．

Answer 1

（1）證明：∵AF平分∠BAD，
∴∠DAF=∠BAF=∠BAD．
∵BG平分∠ABC，
∴∠ABG=∠CBG=∠ABC．
∵四邊形ABCD平行四邊形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AD=BC，
∴∠BAD+∠ABC=180°，
即2∠BAF+2∠ABG=180°，
∴∠BAF+∠ABG=90°．
∴∠AEB=180°-（∠BAF+∠ABG）=180°-90°=90°．
∴AF⊥BG；
∵AB∥CD，
∴∠BAF=∠AFD，
∴∠AFD=∠DAF，
∴DF=AD，
∵AB∥CD，
∴∠ABG=∠CGB，
∴∠CBG=∠CGB，
∴CG=BC，
∵AD=BC．
∴DF=CG；

（2）解：∵DF=AD=6，
∴CG=DF=6．
∴CG+DF=12，
∵四邊形ABCD平行四邊形，
∴CD=AB=10．
∴10+FG=12，
∴FG=2，
過點B作BH∥AF交DC的延長線于點H．
∴∠GBH=∠AEB=90°．
∵AF∥BH，AB∥FH，
∴四邊形ABHF為平行四邊形．
∴BH=AF=8，F(xiàn)H=AB=10．
∴GH=FG+FH=2+10=12，
∴在Rt△BHG中：BG==．
∴FG的長度為2，BG的長度為4．
分析：（1）由在平行四邊形ABCD中，∠BAD、∠ABC的平分線AF、BG分別與線段CD交于點F、G，易求得2∠BAF+2∠ABG=180°，即可得∠AEB=90°，證得AF⊥BG，易證得△ADF與△BCG是等腰三角形，即可得AD=DF，BC=CG，又由AD=BC，即可證得DF=CG；
（2）由（1）易求得DF=CG=8，CD=AB=10，即可求得FG的長；過點B作BH∥AF交DC的延長線于點H，易證得四邊形ABHF為平行四邊形，即可得△HBG是直角三角形，然后利用勾股定理，即可求得BG的長．
點評：此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、垂直的定義以及勾股定理等知識．此題綜合性較強，難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意掌握輔助線的作法．