【題目】如圖,在直角△ABC中,∠C=90°,AB=5,作∠ABC的平分線交AC于點D,在AB上取點O,以點O為圓心經(jīng)過B、D兩點畫圓分別與AB、BC相交于點E、F(異于點B).
(1)求證:AC是⊙O的切線;
(2)若點E恰好是AO的中點,求的長;
(3)若CF的長為,①求⊙O的半徑長;②點F關(guān)于BD軸對稱后得到點F′,求△BFF′與△DEF′的面積之比.
【答案】(1)見解析;(2);(3)①r1=1,;②△BFF'與△DEF'的面積比為或
【解析】
(1)連結(jié),證明,得出,則結(jié)論得證;
(2)求出,,連結(jié),則,由弧長公式可得出答案;
(3)①如圖3,過作于,則,四邊形是矩形,設(shè)圓的半徑為,則.,證明,由比例線段可得出的方程,解方程即可得出答案;
②證明,當或時,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出答案.
解:(1)連結(jié)DO,
∵BD平分∠ABC,
∴∠CBD=∠ABD,
∵DO=BO,
∴∠ODB=∠OBD,
∴∠CBD=∠ODB.
∴DO∥BC,
∵∠C=90°,
∴∠ADO=90°,
∴AC是⊙O的切線;
(2)∵E是AO中點,
∴AE=EO=DO=BO=,
∴sin∠A=,
∴∠A=30°,∠B=60°,
連結(jié)FO,則∠BOF=60°,
∴=.
(3)①如圖3,連結(jié)OD,過O作OM⊥BC于M,
則BM=FM,四邊形CDOM是矩形
設(shè)圓的半徑為r,則OA=5﹣r.BM=FM=r﹣,
∵DO∥BC,
∴∠AOD=∠OBM,
而∠ADO=90°=∠OMB,
∴△ADO∽△OMB,
∴,
即,
解之得r1=1,.
②∵在(1)中∠CBD=∠ABD,
∴DE=DF,
∵BE是⊙O的直徑,
∴∠BDE=90°,
而F、F'關(guān)于BD軸對稱,
∴BD⊥FF',BF=BF',
∴DE∥FF',
∴∠DEF'=∠BF'F,
∴△DEF'∽∠BFF',
當r=1時,AO=4,DO=1,BO=1,
由①知,
,
,
,
,
,
,
與的面積之比,
同理可得,當時.時,與的面積比.
與的面積比為或.
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【題目】如圖為正方形網(wǎng)格,每個小正方形的邊長均為1,各個小正方形的頂點叫做格點,請在下面的網(wǎng)格中按要求分別畫圖,使得每個圖形的頂點均在格點上.
(1)在圖中畫一個以為一邊的菱形,且菱形的面積等于20.
(2)在圖中畫一個以為對角線的正方形,并直接寫出正方形的面積.
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【題目】已知:△ABC與△ABD中,∠CAB=∠DBA=β,且∠ADB+∠ACB=180°.
提出問題:如圖1,當∠ADB=∠ACB=90°時,求證:AD=BC;
類比探究:如圖2,當∠ADB≠∠ACB時,AD=BC是否還成立?并說明理由.
綜合運用:如圖3,當β=18°,BC=1,且AB⊥BC時,求AC的長.
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【題目】已知拋物線y=ax2+(3b+1)x+b﹣3(a>0),若存在實數(shù)m,使得點P(m,m)在該拋物線上,我們稱點P(m,m)是這個拋物線上的一個“和諧點”.
(1)當a=2,b=1時,求該拋物線的“和諧點”;
(2)若對于任意實數(shù)b,拋物線上恒有兩個不同的“和諧點”A、B.
①求實數(shù)a的取值范圍;
②若點A,B關(guān)于直線y=﹣x﹣(+1)對稱,求實數(shù)b的最小值.
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【題目】如圖,一次函數(shù)()的圖象與坐標軸交于A,B兩點,與反比例函數(shù)()的圖象交于M,N兩點,過點M作MC⊥y軸于點C,已知CM=1.
(1)求的值;
(2)若,求反比例函數(shù)的解析式;
(3)在(2)的條件下,設(shè)點P是x軸(除原點O外)上一點,將線段CP繞點P按順時針或逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PQ,當點P滑動時,點Q能否在反比例函數(shù)的圖象上?如果能,求出所有的點Q的坐標;如果不能,請說明理由.
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【題目】如圖,在由邊長都為1的小正方形組成的網(wǎng)格中,點,,均為格點,點,分別為線段,上的動點,且滿足.
(1)線段的長度等于__________;
(2)當線段取得最小值時,請借助無刻度直尺在給定的網(wǎng)格中畫出線段和,并簡要說明你是怎么畫出點Q,P的:_______________________.
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【題目】已知:如圖,四邊形 ABCD 內(nèi)接于⊙ O ,AC 和 BD 相交于E , BC = CD = 4 , AE = 6 ,且 BE 和 DE 的長是正整數(shù),求 BD 的 長.
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