Question

如圖，已知拋物線y=（3-m）x²+2（m-3）x+4m-m²的頂點A在雙曲線y=上，直線y=mx+b經(jīng)過點A，與y軸交于點B，與x軸交于點C．
（1）確定直線AB的解析式；
（2）將直線AB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°，與x軸交于點D，與y軸交于點E，求sin∠BDE的值；
（3）過點B作x軸的平行線與雙曲線交于點G，點M在直線BG上，且到拋物線的對稱軸的距離為6．設(shè)點N在直線BG上，請直接寫出使得∠AMB+∠ANB=45°的點N的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）由拋物線解析式得頂點坐標為（1，-m²+5m-3），代入雙曲線y=中，可求m的值，再把A點坐標代入直線y=mx+b中，確定直線AB的解析式；
（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，OD=OB，OE=OC，根據(jù)B、D、E三點坐標，作EH⊥BD，垂足為H，可知△BEH為等腰直角三角形，分別求EH，DE，再求sin∠BDE的值；
（3）即△AMN的頂點A的外角為45°，過M點作直線AN的垂線，得到等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求N點坐標．
解答：解：（1）∵拋物線對稱軸x=-=1，
∴拋物線頂點坐標為（1，-m²+5m-3），
代入雙曲線y=中，得，-m²+5m-3=3，
解得m=2或3，
∵二次項系數(shù)3-m≠0，
∴m=2，
∴A（1，3），把A點代入直線y=2x+b中，得b=1，
∴直線AB的解析式為y=2x+1；

（2）由直線AB解析式可知OB=1，OC=，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，OD=OB=1，OE=OC=，
作EH⊥BD，垂足為H，∵∠OBD=45°，
∴△BEH為等腰直角三角形，
又∵BE=OB-OE=，
∴EH==，
在Rt△ODE中，DE===，
∴sin∠BDE===；

（3）N點坐標為（5，1）或（-3，1）．
點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合運用．關(guān)鍵是根據(jù)條件確定拋物線和直線AB的解析式，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)解題．