Question

如圖，在五邊形ABCDE中，∠ABC=∠AED=90°，M是CD的中點，BM=EM，求證：∠BAC=∠EAD．

Answer 1

分析：先分別取AC、BD的中點F、G，再連接BF、MF、MG、EG，由于F是AC中點，∠ABC=90°，利用直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)可得BF=

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AC，易知MG是△ACD的中位線，于是MG=

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AC，從而有BF=MG，同理GE=MF，結(jié)合BM=EM可證△BFM≌△MGE，那么∠BFM=∠MGE，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠CFM=∠CAD=∠DGM，根據(jù)等式性質(zhì)可得∠BFC=∠EGD，利用三角形外角性質(zhì)，結(jié)合直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)可得2∠BAF=2∠EAG，即∠BAC=∠EAD．

解答：解：分別取AC、AD的中點F、G，再連接BF、MF、MG、EG，
∵F是AC中點，∠ABC=90°，
∴BF=

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AC，
又∵MG是△ACD的中位線，
∴MG=

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AC，
∴BF=MG，
同理GE=MF，
又∵BM=EM，
∴△BFM≌△MGE，
∴∠BFM=∠MGE，
∵∠CFM=∠CAD=∠DGM，
∴∠BFC=∠EGD，
∴∠BAF+∠ABF=∠GAE+∠AEG，
∵AF=BF，
∴∠BAF=∠ABF，
同理∠GAE=∠AEG，
∴2∠BAF=2∠EAG，
即∠BAC=∠EAD．

點評：本題考查了直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)、三角形中位線定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是作輔助線，證明△BFM≌△MGE．