Question

19．如圖，△ABC為等腰直角三角形，AC⊥BC，PA⊥PB，連接PC．
（1）若AB=2，求AC的長(zhǎng)；
（2）求證：PA-PB=$\sqrt{2}$PC；
（3）若PA平分∠CAB交BC于F點(diǎn)，則$\frac{PF}{AF}$=$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）在RT△ABC中，利用勾股定理即可解決．
（2）如圖1中，作CE⊥CP交AP于E，利用四點(diǎn)共圓得∠CPA=∠CBA=45°，由△ACE≌△BCP得AE=PB，由此即可解決．
（3）如圖3，延長(zhǎng)BP、AC交于E，作FM⊥AB，PN⊥BC垂足分別為M、N，由PN∥AC得$\frac{PF}{AF}=\frac{PN}{AC}$設(shè)FC=FM=BM=a，則FB=$\sqrt{2}$a，AC=BC=（$\sqrt{2}$+1）a，求出PN即可解決問題．

解答 （1）解：設(shè)CB=AC=a，在RT△ACB中，∵∠ACB=90°，AB=2，
∴a²+a²=2²，
∴a²=2，
∵a＞0，
∴a=$\sqrt{2}$．
∴AC=$\sqrt{2}$．
（2）證明：如圖1中，作CE⊥CP交AP于E，
∵∠ACB=∠APB=90°，
∴A、B、P、C四點(diǎn)共圓，
∴∠CPA=∠CBA=45°，
∵∠ACB=∠ECP=90°，
∴∠ACE=∠BCP，∠CEP=∠CPE=45°，
∴∠AEC=∠CPB=135°，
在△ACE和△BCP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACE=∠BCP}\\{∠AEC=∠CPB}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCP，
∴AE=PB，
∴PA-PB=PA-AE=PE=$\sqrt{2}$PC．
（3）解：如圖3，延長(zhǎng)BP、AC交于E，作FM⊥AB，PN⊥BC垂足分別為M、N．
∵CA=CB，∠ACB=∠FMB=90°，
∴∠ABC=∠MFB=45°，
∴MF=MB，
∵AF平分∠CAB，
∴FC=FM=BM，設(shè)FC=FM=BM=a，則FB=$\sqrt{2}$a，AC=BC=（$\sqrt{2}$+1）a，
在△ACF和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACF=∠BCE}\\{AC=BC}\\{∠CAF=∠CBE}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△BCE，
∴CF=CE=a，
在△APE和△APB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PAE=∠PAB}\\{AP=AP}\\{∠APE=∠APB}\end{array}\right.$，
∴△APE≌△APB，
∴PE=PB，
∵∠PNB=∠ECB=90°，
∴PN∥AE，∵PB=PE，
∴NC=NB，
∴PN=$\frac{1}{2}EC$=$\frac{1}{2}$a．
∵PN∥AC，
∴$\frac{PF}{AF}=\frac{PN}{AC}$=$\frac{\frac{1}{2}a}{（\sqrt{2}+1）a}$=$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、四點(diǎn)共圓等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用四點(diǎn)共圓發(fā)現(xiàn)∠CPA=45°，學(xué)會(huì)常用的添加輔助線的方法，屬于中考常考題型．