【題目】如圖,以AB為直徑的⊙O經(jīng)過點(diǎn)P,C是⊙O上一點(diǎn),連接PC交AB于點(diǎn)E,且∠ACP=60°,PA=PD.
(1)試判斷PD與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)若 =1:2,求AE:EB:BD的值(請你直接寫出結(jié)果);
(3)若點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn),已知AB=4,求CECP的值.

【答案】
(1)解:PD與⊙O相切.理由如下:

連接OP,

∵∠ACP=60°,

∴∠AOP=120°,

而OA=OP,

∴∠PAO=∠APO=30°,

∵PA=PD,

∴∠D=∠PAD=30°,

∴∠APD=180°﹣30°﹣30°=120°,

∴∠OPD=120°﹣30°=90°,

∵OP為半徑,

∴PD是⊙O的切線


(2)解:連BC,

∵AB為直徑,

∴∠ACB=90°,

=1:2,

∴∠ABC=2∠BAC,

∴∠BAC=30°,∠ABC=60°,

而∠PAE=30°,

∴∠APE=∠DPE=60°,

∴AE垂直平分PC,如圖,

設(shè)BE=x,在Rt△BCE中,∠BCE=30°,則BC=2BE=2x,

在Rt△ABC中,∠CAB=30°,AB=2BC=4x,

∴AE=AB﹣BE=3x,

∵PA=PD,PE⊥AD,

∴AE=DE,

∴DB=3x﹣x=2x,

∴AE:EB:BD的值為3:1:2


(3)解:如圖,連接OC,

∵弧AC=弧BC,CO⊥AD,

∴∠CAB=∠APC,OC⊥AB,

而∠ACE=∠PCA,

∴△ACE∽△PCA,

,即AC2=PCCE,

∵A02+OC2=AC2=8,

∴PCCE=AC2=8.


【解析】(1)連OP,根據(jù)圓周角定理得到∠AOP=2∠ACP=120°,則∠PAO=∠APO=30°,利用PA=PD得到∠D=∠PAD=30°,則∠APD=180°﹣30°﹣30°=120°,于是得到∠OPD=120°﹣30°=90°,根據(jù)切線的判定定理即可得到PD是⊙O的切線;(2)連BC,由AB為直徑,根據(jù)直徑所對的圓周角為直角得到∠ACB=90°,利用 =1:2,則∠ABC=2∠BAC,所以有∠BAC=30°,∠ABC=60°,而∠PAE=30°,得到AE垂直平分PC,設(shè)BE=x,然后利用含30°的直角三角形三邊的關(guān)系可求出AE:EB:BD的值;(3)根據(jù)圓周角定理由弧AC=弧BC,得到∠CAB=∠APC,OC⊥AB,根據(jù)相似三角形的判定方法易得△ACE∽△PCA,則 ,即AC2=PCCE,利用勾股定理有A02+OC2=AC2=8,即可得到CECP的值.

練習(xí)冊系列答案
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2用含t的代數(shù)式表示運(yùn)動過程中AB的長

3在運(yùn)動過程中,AB中點(diǎn)為E,EC的長是否變化?若不變,求出EC的長;若發(fā)生變化,請說明理由

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(1)請你用畫樹狀圖或列表的方法,求這兩數(shù)差為0的概率;
(2)小馬與小虎做游戲,規(guī)則是:若這兩數(shù)的差為非正數(shù),則小馬贏;否則小虎贏.你認(rèn)為該游戲公平嗎?請說明理由.

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(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)及拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)E是AC延長線上一點(diǎn),∠BCE的平分線CD交⊙O′于點(diǎn)D,求點(diǎn)D的坐標(biāo);并直接寫出直線BC、直線BD的解析式;
(3)在(2)的條件下,拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得∠PDB=∠CBD,若存在,請求出點(diǎn)P的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.

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請回答:該作圖的依據(jù)是_________________________________________

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