Question

【題目】 如圖，在矩形ABCD中，點N為邊BC上不與B、C重合的一個動點，過點N作MN⊥BC交AD于點M，交BD于點E，以MN為對稱軸折疊矩形ABNM，點A、B的對應點分別是G、F，連接EF、DF，若AB=6，BC=8，當△DEF為直角三角形時，CN的長為______．

Answer 1

【答案】或

【解析】

△DEF為直角三角形時，可能出現(xiàn)三種情況，分別令不同的內角為直角，畫出相應的圖形，根據(jù)折疊的性質和相似三角形的性質進行解答即可．

解：矩形ABCD中，AB=6，BC=8，

∴BD==10，

由折疊得：BE=EF，BN=NF，∠EBF=∠EFB，∠BEN=∠FEN，

當△DEF為直角三角形時，

（1）當∠DEF=90°，則∠BEN=∠FEN=45°，不合題意；

（2）當∠EFD=90°時，如圖1所示：

∵∠EFN+∠DFC=90°，∠DFC+∠CDF=90°，

∴∠EFN=∠CDF=∠EBN，

∵tan∠DBC===tan∠CDF=

設CN=x，則BN=NF=8-x，FC=x-（8-x）=2x-8，

∴=

解得：x=，即CN=．

（3）當∠EDF=90°時，如圖2所示：

易證△BDC∽△DFC，

∴CD2=BCCF

設CN=x，則BN=NF=8-x，FC=（8-x）-x=8-2x，

∴62=8（8-2x）

解得：x=，即CN=，

綜上所述，CN的長為或．

故答案為：或．