Question

19．問(wèn)題情境：
我們知道若一個(gè)矩形的周長(zhǎng)固定，當(dāng)相鄰兩邊相等，即為正方形時(shí)，面積是最大的，反過(guò)來(lái)，若一個(gè)矩形的面積固定，它的周長(zhǎng)是否會(huì)有最值呢？
探究方法：
用兩條直角邊分別為a、b的四個(gè)全等的直角三角形，可以拼成一個(gè)正方形，若a≠b，可以拼成如圖①的正方形，從而得到a²+b²＞4×$\frac{1}{2}$ab，即a²+b²＞2ab；若a=b，可以拼成如圖②的正方形，從而得到a²+b²=4×$\frac{1}{2}$ab，即a²+b²=2ab．
于是我們可以得到結(jié)論：a，b為正數(shù)，總有a²+b²≥2ab，且當(dāng)a=b時(shí)，代數(shù)式a²+b²取得最小值為2ab．
另外，我們也可以通過(guò)代數(shù)式運(yùn)算得到類(lèi)似上面的結(jié)論．
∵（a-b）²=a²-2ab+b²≥0，a²+b²≥2ab，∴對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，總有a²+b²≥2ab，且當(dāng)a=b時(shí)，代數(shù)式a²+b²取得最小值為2ab．
仿照上面的方法，對(duì)于正數(shù)a，b試比較a+b和2$\sqrt{ab}$的大小關(guān)系．
類(lèi)比應(yīng)用
利用上面所得到的結(jié)論，完成填空：
（1）當(dāng)x＞0時(shí)，x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$≥2x•$\frac{1}{x}$，代數(shù)式x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$有最小值為2．
（2）當(dāng)x＞0時(shí)，x+$\frac{9}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{9}{x}}$，代數(shù)式x+$\frac{9}{x}$有最小值為6．
（3）當(dāng)x＞2時(shí)，x+$\frac{5}{x-2}$≥2$\sqrt{（x-2）•\frac{5}{x-2}}$+2，代數(shù)式x+$\frac{5}{x-2}$有最小值為2$\sqrt{5}$+2．
問(wèn)題解決：
若一個(gè)矩形的面積固定為n，它的周長(zhǎng)是否會(huì)有最值呢？若有，求出周長(zhǎng)的最值及此時(shí)矩形的長(zhǎng)和寬；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由，由此你能得到怎樣的結(jié)論？

Answer 1

分析 探究方法：仿照給定的方法，即可得出a+b≥2$\sqrt{ab}$這一結(jié)論；
類(lèi)比應(yīng)用：（1）根據(jù)探究方法中的結(jié)論，代入數(shù)據(jù)即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)探究方法中的結(jié)論，代入數(shù)據(jù)即可得出結(jié)論；
（3）代數(shù)式中先-2再+2，根據(jù)探究方法中的結(jié)論，代入數(shù)據(jù)即可得出結(jié)論；
問(wèn)題解決：設(shè)該矩形的長(zhǎng)為a，寬為b（a≥b＞0），根據(jù)a+b≥2$\sqrt{ab}$，結(jié)合矩形的周長(zhǎng)和面積公式，即可得出結(jié)論．

解答 解：探究方法：
∵當(dāng)a，b均為正數(shù)時(shí)，$（\sqrt{a}-\sqrt）^{2}$=a+b-2$\sqrt{ab}$≥0，
∴a+b≥2$\sqrt{ab}$．
類(lèi)比應(yīng)用：
（1）結(jié)合探究方法中得出的結(jié)論可知：
x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$≥2x•$\frac{1}{x}$=2，代數(shù)式x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$有最小值為2．
故答案為：2x•$\frac{1}{x}$；小；2．
（2）結(jié)合探究方法中得出的結(jié)論可知：
當(dāng)x＞0時(shí)，x+$\frac{9}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{9}{x}}$=6，代數(shù)式x+$\frac{9}{x}$有最小值為6．
故答案為：2$\sqrt{x•\frac{9}{x}}$；�。�6．
（3）結(jié)合探究方法中得出的結(jié)論可知：
當(dāng)x＞2時(shí)，x+$\frac{5}{x-2}$≥2$\sqrt{（x-2）•\frac{5}{x-2}}$+2=2$\sqrt{5}$+2，代數(shù)式x+$\frac{5}{x-2}$有最小值為2$\sqrt{5}$+2．
故答案為：2$\sqrt{（x-2）•\frac{5}{x-2}}$+2；小；2$\sqrt{5}$+2．
問(wèn)題解決：
設(shè)該矩形的長(zhǎng)為a，寬為b（a≥b＞0），
根據(jù)題意知：周長(zhǎng)C=2（a+b）≥4$\sqrt{ab}$=4$\sqrt{n}$，且當(dāng)a=b時(shí)，代數(shù)式2（a+b）取得最小值為4$\sqrt{n}$，
此時(shí)a=b=$\sqrt{n}$．
故若一個(gè)矩形的面積固定為n，它的周長(zhǎng)是有最小值，周長(zhǎng)的最小值為4$\sqrt{n}$，此時(shí)矩形的長(zhǎng)和寬均為$\sqrt{n}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的面積公式、矩形的周長(zhǎng)公式以及完全平方式的展開(kāi)式，解題的關(guān)鍵：（探究方法）仿照給定方法套入數(shù)據(jù)；（類(lèi)比應(yīng)用）結(jié)合前面得出的結(jié)論套入數(shù)據(jù)；（問(wèn)題解決）利用前面結(jié)論找出周長(zhǎng)的最值．本題屬于中檔題，難度不大，由于本題篇幅較長(zhǎng)，孩子們很難耐下心來(lái)細(xì)讀，其實(shí)像這樣的閱讀形題，只要讀懂題意仿照例題給定方法，套入數(shù)據(jù)即可得出結(jié)論，為此應(yīng)加強(qiáng)這方面的練習(xí)．