Question

如圖，已知：四邊形AEBD中，對角線AB和DE相交于點C，且AB垂直平分DE，AC=a，BC=b，CD=

ab

，其中a≥b＞0．
（1）用尺規(guī)作圖法作出以AB為直徑的圓O；
（2）試判斷D與圓O的位置關(guān)系（請說明理由）．

Answer 1

分析：（1）作AB的垂直平分線，那么此中垂線與AB的交點即為點O，然后以O(shè)為圓心，OA長為半徑作圓即可．
（2）顯然點D在圓上；首先根據(jù)AC、BC、CD的長，可得AC•BC=CD²，聯(lián)立DC⊥AB，即可證得∠ADB=90°，從而根據(jù)圓周角定理判斷出點D和圓O的位置關(guān)系．

解答：解：（1）已知：線段AB，
求作：⊙O，且以AB為直徑；
作法：①分別以A、B為圓心，大于

1

2

AB為半徑作弧，交于M、N兩點；
②連接MN，交AB于點O；
③以O(shè)為圓心，OA長為半徑作圓．
結(jié)論：⊙O即為所求作的圓．

（2）點D在⊙O上；
理由：由題意知：AC•BC=CD²，即

AC

CD

=

CD

BC

；
又∵∠DCA=∠DCB=90°，
∴△DCA∽△BCD，
∴∠DCA=∠BDC，又∵∠DAC+∠ADC=90°，
∴∠BDC+∠ADC=90°，即∠ADB=90°；
由圓周角定理知：點D在⊙O上．（本小題6分）

點評：此題主要考查了線段垂直平分線的作法以及圓周角定理的應(yīng)用，還涉及到相似三角形的判定和性質(zhì)，難度適中．