Question

如圖，直線CB∥OA，∠C=∠A=120°，E、F在CB上，且滿足∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF．
（1）求∠EOB的度數(shù)；
（2）若平行移動AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否隨之發(fā)生變化？若變化，找出變化規(guī)律或求出變化范圍；若不變，求出這個比值；
（3）在平行移動AB的過程中，是否存在某種情況，使∠OEC=∠OBA？若存在，求出其度數(shù)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補求出∠AOC，再根據(jù)角平分線的定義求出∠EOB=

1

2

∠AOC，代入數(shù)據(jù)即可得解；
（2）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠OBC=∠BOA，從而得到∠OBC=∠FOB，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出∠OFC=2∠OBC，從而得解；
（3）設(shè)∠AOB=x，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等表示出∠CBO=∠AOB=x，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和表示出∠OEC，然后利用三角形的內(nèi)角和等于180°列式表示出∠OBA，然后列出方程求解即可．

解答：解：（1）∵CB∥OA，
∴∠AOC=180°-∠C=180°-120°=60°，
∵∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF，
∴∠EOB=

1

2

∠AOC=

1

2

×60°=30°；

（2）∠OBC：∠OFC的值不會發(fā)生變化，為1：2，
∵CB∥OA，
∴∠OBC=∠BOA，
∵∠FOB=∠AOB，
∴∠BOC=∠FOB，
∴∠OFC=∠OBC+∠FOB=2∠OBC，
∴∠OBC：∠OFC=1：2；

（3）當平行移動AB至∠OBA=45°時，∠OEC=∠OBA．
設(shè)∠AOB=x，
∵CB∥AO，
∴∠CBO=∠AOB=x，
∵∠OEC=∠CBO+∠EOB=x+30°，
∠OBA=180°-∠A-∠AOB=180°-120°-x=60°-x，
∴x+30°=60°-x，
∴x=15°，
∴∠OEC=∠OBA=60°-15°=45°．

點評：本題考查了平行線的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理，圖形較為復(fù)雜，熟記性質(zhì)并準確識圖是解題的關(guān)鍵．