Question

3．如果拋物線C₁的頂點(diǎn)在拋物線C₂上，同時(shí)，拋物線C₂的頂點(diǎn)也在拋物線C₁上，那么我們稱拋物線C₁與C₂關(guān)聯(lián)．
（1）已知兩條拋物線①：y=x²+2x-7，②：y=-x²+4x-3，判斷這兩條拋物線是否關(guān)聯(lián)，并說明理由．
（2）拋物線C₁：y=$\frac{1}{6}$（x+1）²-2和一動(dòng)點(diǎn)P（t，1），將拋物線C₁繞點(diǎn)P（t，1）旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線C₂，若拋物線C₂與C₁關(guān)聯(lián)，求拋物線C₂的解析式．
（3）善于思考的小穎同學(xué)提出一個(gè)猜想：“如果頂點(diǎn)不同的兩條拋物線C₁與C₂關(guān)聯(lián)，那么它們的解析式中的二次項(xiàng)系數(shù)一定是互為相反數(shù)，”你認(rèn)為小穎同學(xué)的猜想正確嗎？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）首先求得拋物線①的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后檢驗(yàn)是否此點(diǎn)在拋物線②與③上，再求得拋物線②的頂點(diǎn)坐標(biāo)，檢驗(yàn)是否在拋物線①上，即可求得答案；
（2）首先求得拋物線C₁的頂點(diǎn)坐標(biāo)，則可得：點(diǎn)P在直線y=1上，則可作M關(guān)于P的對(duì)稱點(diǎn)N，分別過點(diǎn)M、N作直線y=1的垂線，垂足為E，F(xiàn)，則可求得點(diǎn)N的坐標(biāo)，利用頂點(diǎn)式即可求得結(jié)果；
（3）設(shè)兩條拋物線C₁：y=a₁（x-m）²+n與C₂：y=a₂（x-p）²+q關(guān)聯(lián)，則有$\left\{\begin{array}{l}{q={a}_{1}（p-m）^{2}+n①}\\{n={a}_{1}（m-p）^{2}+q②}\end{array}\right.$①+②得（a₁+a₂）（m-p）²=0，即可求得a₁+a₂=0．

解答 解：（1）∵①拋物線y=x²+2x-7=（x+1）²-8的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（-1，-8），
∴②當(dāng)x=-1時(shí)，y=-x²+4x-3=-1-4-3=-8，
∴點(diǎn)M在拋物線②上；
∴拋物線①與拋物線②有關(guān)聯(lián)；
∵拋物線②y=-x²+4x-3=-（x-2）²+1，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），
經(jīng)驗(yàn)算：（2，1）在拋物線①上，
∴拋物線①、②是關(guān)聯(lián)的；

（2）拋物線C₁：y=$\frac{1}{6}$（x+1）²-2的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-1，-2），
∵動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，1），
∴點(diǎn)P在直線y=1上，
作M關(guān)于P的對(duì)稱點(diǎn)N，分別過點(diǎn)M、N作直線y=1的垂線，垂足為E，F(xiàn)，則ME=NF=3，
∴點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為4，
當(dāng)y=3時(shí)，$\frac{1}{6}$（x+1）²-2=4，
解得：x₁=5，x₂=-7，
①設(shè)拋物C₂的解析式為：y=a（x-5）²+4，
∵點(diǎn)M（-1，-2）在拋物線C₂上，
∴-2=a（-1-5）²+4，
∴a=-$\frac{1}{6}$．
∴拋物線C₂的解析式為：y=-$\frac{1}{6}$（x-5）²+4；
②設(shè)拋物C₂的解析式為：y=a（x+7）²+4，
∵點(diǎn)M（-1，-2）在拋物線C₂上，
∴-2=a（-1+7）²+4，
∴a=-$\frac{1}{6}$．
∴拋物線C₂的解析式為：y=-$\frac{1}{6}$（x+7）²+4； 
 
（3）小穎同學(xué)的猜想正確，
理由：∵頂點(diǎn)不同的兩條拋物線C₁：y=a₁（x-m）²+n與C₂：y=a₂（x-p）²+q關(guān)聯(lián)，
∴有$\left\{\begin{array}{l}{q={a}_{1}（p-m）^{2}+n}\\{n={a}_{2}（m-p）^{2}+q}\end{array}\right.$
①+②得（a₁+a₂）（m-p）²=0，
∴m≠p，
∴a₁+a₂=0，
∴解析式中的二次項(xiàng)系數(shù)一定是互為相反數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式以及二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)的求解方法，全等三角形的性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用．