Question

閱讀以下短文，然后解決下列問題：
如果一個(gè)三角形和一個(gè)矩形滿足條件：三角形的一邊與矩形的一邊重合，且三角形的這邊所對(duì)的頂點(diǎn)在矩形這邊的對(duì)邊上，則稱這樣的矩形為三角形的“友好矩形”，如圖①所示，矩形ABEF即為△ABC的“友好矩形”，顯然，當(dāng)△ABC是鈍角三角形時(shí)，其“友好矩形”只有一個(gè)．
（1）仿照以上敘述，說明什么是一個(gè)三角形的“友好平行四邊形”；
（2）如圖②，若△ABC為直角三角形，且∠C=90°，在圖②中畫出△ABC的所有“友好矩形”，并比較這些矩形面積的大�。�
（3）若△ABC是銳角三角形，且BC＞AC＞AB，在圖③中畫出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周長最小的矩形并加以證明．

Answer 1

分析：（1）類似“友好矩形”的定義，即可寫出“友好平行四邊形”的定義：
如果一個(gè)三角形和一個(gè)平行四邊形滿足條件：三角形的一邊與平行四邊形的一邊重合，三角形這邊所對(duì)的頂點(diǎn)在平行四邊形這邊的對(duì)邊上，則稱這樣的平行四邊形為三角形的“友好平行四邊形”；
（2）根據(jù)定義，則分別讓直角三角形的直角邊或斜邊當(dāng)矩形的一邊，過第三個(gè)頂點(diǎn)作它的對(duì)邊，從而畫出矩形．根據(jù)每個(gè)矩形和直角三角形的面積的關(guān)系，比較兩個(gè)矩形的面積大��；
（3）分別以三角形的一邊當(dāng)矩形的另一邊，過第三個(gè)頂點(diǎn)作矩形的對(duì)邊，從而畫出矩形，根據(jù)三角形和矩形的面積公式，可知三個(gè)矩形的面積相等，設(shè)矩形的面積是S，三角形的三條邊分別是a，b，c．根據(jù)矩形的面積由其中一邊表示出矩形的另一邊，進(jìn)一步求得其周長，運(yùn)用求差法比較它們的周長的大�。�

解答：解：（1）如果一個(gè)三角形和一個(gè)平行四邊形滿足條件：三角形的一邊與平行四邊形的一邊重合，三角形這邊所對(duì)的頂點(diǎn)在平行四邊形這邊的對(duì)邊上，則稱這樣的平行四邊形為三角形的“友好平行四邊形”．     

（2）此時(shí)共有2個(gè)友好矩形，如圖的BCAD、ABEF．     
易知，矩形BCAD、ABEF的面積都等于△ABC面積的2倍，
∴△ABC的“友好矩形”的面積相等．                

（3）此時(shí)共有3個(gè)友好矩形，如圖的BCDE、CAFG及ABHK，
其中的矩形ABHK的周長最�。�                        

證明如下：
易知，這三個(gè)矩形的面積相等，令其為S，設(shè)矩形BCDE、CAFG及ABHK的周長分別為L₁，L₂，L₃，
△ABC的邊長BC=a，CA=b，AB=c，則：
L₁=

2S

a

+2a，L₂=

2S

b

+2b，L₃=

2S

c

+2c，
∴L₁-L₂=（

2S

a

+2a）-（

2S

b

+2b）=-

2s

ab

（a-b）+2（a-b）=2（a-b）•

ab-S

ab

，
而ab＞S，a＞b，
∴L₁-L₂＞0，即L₁＞L₂，
同理可得，L₂＞L₃，
∴L₃最小，即矩形ABHK的周長最�。�

點(diǎn)評(píng)：理解該題中的新定義，能夠根據(jù)定義正確畫出符合要求的圖形，掌握三角形和矩形的面積公式，能夠運(yùn)用求差法比較數(shù)的大�。�