閱讀以下短文,然后解決下列問題:
如果一個三角形和一個矩形滿足條件:三角形的一邊與矩形的一邊重合,且三角形的這邊所對的頂點在矩形這邊的對邊上,則稱這樣的矩形為三角形的“友好矩形”,如圖①所示,矩形ABEF即為△ABC的“友好矩形”,顯然,當△ABC是鈍角三角形時,其“友好矩形”只有一個.
(1)仿照以上敘述,說明什么是一個三角形的“友好平行四邊形”;
(2)如圖②,若△ABC為直角三角形,且∠C=90°,在圖②中畫出△ABC的所有“友好矩形”,并比較這些矩形面積的大小;
(3)若△ABC是銳角三角形,且BC>AC>AB,在圖③中畫出△ABC的所有“友好矩形”,指出其中周長最小的矩形并加以證明.精英家教網(wǎng)
分析:(1)類似“友好矩形”的定義,即可寫出“友好平行四邊形”的定義:
如果一個三角形和一個平行四邊形滿足條件:三角形的一邊與平行四邊形的一邊重合,三角形這邊所對的頂點在平行四邊形這邊的對邊上,則稱這樣的平行四邊形為三角形的“友好平行四邊形”;
(2)根據(jù)定義,則分別讓直角三角形的直角邊或斜邊當矩形的一邊,過第三個頂點作它的對邊,從而畫出矩形.根據(jù)每個矩形和直角三角形的面積的關系,比較兩個矩形的面積大;
(3)分別以三角形的一邊當矩形的另一邊,過第三個頂點作矩形的對邊,從而畫出矩形,根據(jù)三角形和矩形的面積公式,可知三個矩形的面積相等,設矩形的面積是S,三角形的三條邊分別是a,b,c.根據(jù)矩形的面積由其中一邊表示出矩形的另一邊,進一步求得其周長,運用求差法比較它們的周長的大。
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)如果一個三角形和一個平行四邊形滿足條件:三角形的一邊與平行四邊形的一邊重合,三角形這邊所對的頂點在平行四邊形這邊的對邊上,則稱這樣的平行四邊形為三角形的“友好平行四邊形”.     

(2)此時共有2個友好矩形,如圖的BCAD、ABEF.     
易知,矩形BCAD、ABEF的面積都等于△ABC面積的2倍,
∴△ABC的“友好矩形”的面積相等.                

(3)此時共有3個友好矩形,如圖的BCDE、CAFG及ABHK,
其中的矩形ABHK的周長最。                        

證明如下:
易知,這三個矩形的面積相等,令其為S,設矩形BCDE、CAFG及ABHK的周長分別為L1,L2,L3,精英家教網(wǎng)
△ABC的邊長BC=a,CA=b,AB=c,則:
L1=
2S
a
+2a,L2=
2S
b
+2b,L3=
2S
c
+2c,
∴L1-L2=(
2S
a
+2a)-(
2S
b
+2b)=-
2s
ab
(a-b)+2(a-b)=2(a-b)
ab-S
ab
,
而ab>S,a>b,
∴L1-L2>0,即L1>L2
同理可得,L2>L3
∴L3最小,即矩形ABHK的周長最。
點評:理解該題中的新定義,能夠根據(jù)定義正確畫出符合要求的圖形,掌握三角形和矩形的面積公式,能夠運用求差法比較數(shù)的大。
練習冊系列答案
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如果一個三角形和一個矩形滿足條件:三角形的一邊與矩形的一邊重合,且三角形的這邊所對的頂點在矩形這邊的對邊上,則稱這樣的矩形為三角形的“友好矩形”。如圖(1)所示,矩形ABEF即為△ABC的“友好矩形”。顯然,當△ABC是鈍角三角形時,其“友好矩形”只有一個。

1.仿照以上敘述,說明什么是一個三角形的“友好平行四邊形”

2.如圖(2),若△ABC為直角三角形,且∠C=90°,在圖(2)

中畫出△ABC的所有“友好矩形”,并比較這些矩形面積的大小;

3.若△ABC是銳角三角形,且BC>AC>AB,在圖(3)中畫出△ABC的所有“友好矩形”,指出其中周長最大的矩形。(標上字母)

 

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【小題1】仿照以上敘述,說明什么是一個三角形的“友好平行四邊形”
【小題2】如圖(2),若△ABC為直角三角形,且∠C=90°,在圖(2)
中畫出△ABC的所有“友好矩形”,并比較這些矩形面積的大。

【小題3】若△ABC是銳角三角形,且BC>AC>AB,在圖(3)中畫出△ABC的所有“友好矩形”,指出其中周長最大的矩形。(標上字母)

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如果一個三角形和一個矩形滿足條件:三角形的一邊與矩形的一邊重合,且三角形的這邊所對的頂點在矩形這邊的對邊上,則稱這樣的矩形為三角形的“友好矩形”。如圖(1)所示,矩形ABEF即為△ABC的“友好矩形”。顯然,當△ABC是鈍角三角形時,其“友好矩形”只有一個。

【小題1】仿照以上敘述,說明什么是一個三角形的“友好平行四邊形”
【小題2】如圖(2),若△ABC為直角三角形,且∠C=90°,在圖(2)
中畫出△ABC的所有“友好矩形”,并比較這些矩形面積的大小;

【小題3】若△ABC是銳角三角形,且BC>AC>AB,在圖(3)中畫出△ABC的所有“友好矩形”,指出其中周長最大的矩形。(標上字母)

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1.仿照以上敘述,說明什么是一個三角形的“友好平行四邊形”

2.如圖(2),若△ABC為直角三角形,且∠C=90°,在圖(2)

中畫出△ABC的所有“友好矩形”,并比較這些矩形面積的大;

3.若△ABC是銳角三角形,且BC>AC>AB,在圖(3)中畫出△ABC的所有“友好矩形”,指出其中周長最大的矩形。(標上字母)

 

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