Question

【題目】如圖：已知△ABC是等邊三角形，D、E、F分別是AB、AC、BC邊的中點(diǎn)，M是直線BC上的任意一點(diǎn)，在射線EF上截取EN，使EN=FM，連接DM、MN、DN．

（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，請(qǐng)你按已知要求補(bǔ)全圖形，并判斷△DMN是怎樣的特殊三角形（不要求證明）；

（2）請(qǐng)借助圖②解答：當(dāng)點(diǎn)M在線段BF上（與點(diǎn)B、F不重合），其它條件不變時(shí)，（1）中的結(jié)論是否依然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）請(qǐng)借助圖③解答：當(dāng)點(diǎn)M在射線FC上（與點(diǎn)F不重合），其它條件不變時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？不要求證明．

Answer 1

【答案】（1）圖詳見(jiàn)解析，△DMN是等邊三角形；（2）△DMN仍是等邊三角形，證明詳見(jiàn)解析；（3）△DMN不是等邊三角形．

【解析】

（1）連接DF，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)與三角形中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半的性質(zhì)可以證明DF=BD=EF=BF，然后證明BM=FN，∠MBD=∠NFD=120°，從而證明△BDM與△FDN全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得MD=DN，對(duì)應(yīng)角相等可得∠MDB=∠NDF，然后證明∠MDN=∠BDF=60°，所以△DMN是等邊三角形；（2）連接DF，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)與三角形中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半的性質(zhì)可以證明DF=BD=EF=BF，然后證明BM=FN，∠MBD=∠NFD=60°，從而證明△BDM與△FDN全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得MD=DN，對(duì)應(yīng)角相等可得∠MDB=∠NDF，然后證明∠MDN=∠BDF=60°，所以△DMN是等邊三角形； （3）沿用前兩問(wèn)的思路，顯然不能證明△CDM與△FDN全等，所以△DMN不是等邊三角形．

解：（1）如圖①，

△DMN是等邊三角形．

（2）如圖②，當(dāng)M在線段BF上（與點(diǎn)B、F重合）時(shí)，△DMN仍是等邊三角形．

證明：連接DF，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ABC=60°，AB=AC=BC．

∵D、E、F分別是△ABC三邊的中點(diǎn)，

∴DE、DF、EF是等邊三角形的中位線．

∴DF=AC，BD=AB，EF=AB，BF=BC．

∴∠BDF=∠A=∠DFE=60°，DF=BF=EF，

∴∠ABC=∠DFE，

∵FM=EN，

∴BM=NF，

∴△BDM≌△FDN，

∴∠BDM=∠FDN，MD=ND，

∴∠BDM+∠MDF=∠FDN+∠MDF=∠MDN=60°，

△DMN是等邊三角形；

（3）如圖③或圖④，當(dāng)點(diǎn)M在射線FC上（與點(diǎn)F不重合）時(shí)，（1）中的結(jié)論不成立，

即△DMN不是等邊三角形．