Question

如圖，在四邊形ABCD中，AC=BD=6，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，求EG²+FH²的值．

Answer 1

考點(diǎn)：中點(diǎn)四邊形

專題：

分析：連接EF，F(xiàn)G，GH，EH，由E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，得到EH，EF，F(xiàn)G，GH分別是△ABD，△ABC，△BCD，△ACD的中位線，根據(jù)三角形中位線定理得到EH，F(xiàn)G等于BD的一半，EF，GH等于AC的一半，由AC=BD=6，得到EH=EF=GH=FG=3，根據(jù)四邊都相等的四邊形是菱形，得到EFGH為菱形，然后根據(jù)菱形的性質(zhì)得到EG⊥HF，且EG=2OE，F(xiàn)H=2OH，在Rt△OEH中，根據(jù)勾股定理得到OE²+OH²=EH²=9，再根據(jù)等式的性質(zhì)，在等式的兩邊同時(shí)乘以4，根據(jù)4=2²，把等式進(jìn)行變形，并把EG=2OE，F(xiàn)H=2OH代入變形后的等式中，即可求出EG²+FH²的值

解答：解：如右圖，連接EF，F(xiàn)G，GH，EH，
∵E、H分別是AB、DA的中點(diǎn)，
∴EH是△ABD的中位線，
∴EH=

1

2

BD=3，
同理可得EF，F(xiàn)G，GH分別是△ABC，△BCD，△ACD的中位線，
∴EF=GH=

1

2

AC=3，F(xiàn)G=

1

2

BD=3，
∴EH=EF=GH=FG=3，
∴四邊形EFGH為菱形，
∴EG⊥HF，且垂足為O，
∴EG=2OE，F(xiàn)H=2OH，
在Rt△OEH中，根據(jù)勾股定理得：OE²+OH²=EH²=9，
等式兩邊同時(shí)乘以4得：4OE²+4OH²=9×4=36，
∴（2OE）²+（2OH）²=36，
即EG²+FH²=36．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形的中位線定理以及等式的基本性質(zhì)，本題的關(guān)鍵是連接EF，F(xiàn)G，GH，EH，得到四邊形EFGH為菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到
EG⊥HF，建立直角三角形，利用勾股定理來解決問題．