Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，F為弦AC的中點(diǎn)，連接OF并延長(zhǎng)交弧AC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．

（1）求證：AC∥DE；

（2）連接CD，若OA＝AE＝2時(shí)，求出四邊形ACDE的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】試題（1）根據(jù)垂徑定理的推論可證明AC⊥OD，根據(jù)切線的性質(zhì)定理證得ED⊥OD，即可證明AC∥DE．（2）連接CD，易證OF＝FD，根據(jù)SAS可證得△AFO≌△CFD，即可得S四邊形ACDE＝S△ODE，根據(jù)勾股定理求得ED的長(zhǎng)，即可得Rt△ODE的面積，從而求得四邊形ACDE的面積．

試題解析：

證明：（1）∵F為弦AC（非直徑）的中點(diǎn)，∴AF＝CF，∴OD⊥AC，

∵DE切⊙O于點(diǎn)D，∴OD⊥DE，∴AC∥DE．

（2）∵AC∥DE，且OA＝AE，∴F為OD的中點(diǎn)，即OF＝FD，又∵AF＝CF，

∠AFO＝∠CFD，∴△AFO≌△CFD（SAS），∴S△AFO＝S△CFD，∴S四邊形ACDE＝S△ODE

在Rt△ODE中，OD＝OA＝AE＝2，∴OE＝4，∴DE＝＝2

∴S四邊形ACDE＝S△ODE＝×OD×OE＝×2×2＝2．