Question

在△ABC中，點(diǎn)D、M、N分別在邊AB、CA、CB上，
（1）若D為AB中點(diǎn)，且∠MDN=∠CAB+∠CBA．
①如圖1，當(dāng)BC=AC時，探索MD、ND的數(shù)量關(guān)系，并證明；
②如圖2，當(dāng)BC=k•AC時，探索MD、ND的數(shù)量關(guān)系（用含k的式子表示），并證明；
（2）如圖3，點(diǎn)D、M、N分別在邊AB、CA、CB的延長線上，BC=k•AC，AB=m•BD，且∠MDN=∠ACB，猜想MD、ND的數(shù)量關(guān)系是

 

（直接寫出答案，用含k、m的式子表示）

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：

分析：（1）①連接CD，過D作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F．先由三角形內(nèi)角和定理及已知條件得出∠MDN=∠EDF=180°-∠C，則∠EDM=∠FDN，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出CD平分∠ACB，由角平分線的性質(zhì)得到DE=DF，再利用AAS證明△EMD≌△FND，得出MD=ND；
②連接CD，過D作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F．由D為AB中點(diǎn)，根據(jù)三角形的面積公式可得S_△ACD=S_△CDB，即

1

2

AC•DE=

1

2

BC•DF，則

DE

DF

=

BC

AC

=k，再由三角形內(nèi)角和定理及已知條件得出∠MDN=∠EDF=180°-∠C，則∠EDM=∠FDN，又∠DEM=∠DFN=90°，得出△EMD∽△FND，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出

MD

ND

=

DE

DF

=k，即MD=kND；
（2）連接CD，過D作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，過B作BG⊥AC于G，設(shè)CN、DM交于O．由BG∥DE，得出△ABG∽△ADE，則

BG

DE

=

AB

AD

=

m

m+1

，即BG=

m

m+1

•DE．根據(jù)三角形的面積公式得到S_△ABC：S_△BDC=AB：BD=m=

1

2

AC•BG：

1

2

BC•DF=BG：kDF，即BG：DF=km，DE：DF=k•（m+1）．再證明△COM∽△DON，得出∠M=∠N，又∠DEM=∠DFN=90°，得到△DEM∽△DFN，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出

MD

ND

=

DE

DF

=k•（m+1），即MD=k•（m+1）ND．

解答：解：（1）①M(fèi)D=ND，理由如下：
如圖1，連接CD，過D作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F．
∵∠MDN=∠A+∠B=180°-∠C，
∠EDF=360°-∠DEC-∠DFC-∠C=360°-90°-90°-∠C=180°-∠C，
∴∠MDN=∠EDF，
∴∠EDM=∠FDN．
∵BC=AC，D為AB中點(diǎn)，
∴CD平分∠ACB，
∵DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，
∴DE=DF．
在△EMD與△FND中，

∠EDM=∠FDN DE=DF ∠DEM=∠DFN

，
∴△EMD≌△FND（ASA），
∴MD=ND；

②MD=k•ND，理由如下：
如圖2，連接CD，過D作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F．
∵D為AB中點(diǎn)，
∴S_△ACD=S_△CDB，
∴

1

2

AC•DE=

1

2

BC•DF，
∴AC•DE=BC•DF，
∴

DE

DF

=

BC

AC

=k．
∵∠MDN=∠A+∠B=180°-∠C，
∠EDF=360°-∠DEC-∠DFC-∠C=360°-90°-90°-∠C=180°-∠C，
∴∠MDN=∠EDF，
∴∠EDM=∠FDN，
又∵∠DEM=∠DFN=90°，
∴△EMD∽△FND，
∴

MD

ND

=

DE

DF

=k，
∴MD=kND；

（2）MD=k•（m+1）•ND，理由如下：
如圖3，連接CD，過D作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，過B作BG⊥AC于G，設(shè)CN、DM交于O，
∴BG∥DE，
∴△ABG∽△ADE，
∴

BG

DE

=

AB

AD

=

mBD

mBD+BD

=

m

m+1

，
∴BG=

m

m+1

•DE．
∵S_△ABC：S_△BDC=AB：BD=m=

1

2

AC•BG：

1

2

BC•DF=BG：kDF，
∴BG：DF=km，
∴

m

m+1

•DE：DF=km，
∴DE：DF=k•（m+1）．
∵∠MDN=∠MCB，∠COM=∠DON，
∴△COM∽△DON，
∴∠M=∠N，
∵∠DEM=∠DFN=90°，
∴△DEM∽△DFN，
∴

MD

ND

=

DE

DF

=k•（m+1），
∴MD=k•（m+1）ND．
故答案為MD=k•（m+1）•ND．

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形、角平分線的性質(zhì)，三角形的面積等知識，綜合性較強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用與輔助線的作法．