【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC=10,以AB為直徑的OO與BC相交于點D,與AC相交于點E,DF⊥AC,垂足為F,連接DE,過點A作AG⊥DE,垂足為G,AG與⊙O交于點H.
(1)求證:DF是⊙O的切線;
(2)若∠CAG=25°,求弧AH的長;
(3)若tan∠CDF=,求AE的長;
【答案】(1)證明見解析(2)(3)6
【解析】
(1)連接OD、AD,根據圓周角定理得到∠ADB=90°,求得OD∥AC,根據平行線的性質得到OD⊥DF,根據切線的判定定理即可得到結論;
(2)連接OH,根據三角形的內角和得到∠AEG=65°,求得∠B=∠AEG=65°,求得∠AOH=30°,根據弧長公式即可得到結論;
(3)根據余角的性質得到∠CAD=∠CDF,求出tan∠CAD=tan∠CDF=,根據勾股定理得到CD=2,根據相似三角形的性質得到CF=2,于是得到結論.
(1)證明:連接OD、AD,
AB是⊙O的半徑,
∴∠ADB=90°,
∵AB=AC,
∵點D是BC的中點,O是AB的中點,
∴OD∥AC,
∵DF⊥AC,
∴OD⊥DF,
∵OD是⊙O的半徑,
DF是⊙O的切線;
(2)解:連接OH,
∵AG⊥DG,∴∠G=90°,
∵∠CAG=25°,
∴∠AEG=65°,
∴∠B=∠AEG=65°,
∴∠BAC=180°﹣65°﹣65°=50°,
∴∠OAH=75°,
∴∠AOH=30°,
∴l弧AH=;
(3)解:∵∠CAD+∠C=90°,∠CDF+∠C=90°,
∴∠CAD=∠CDF,
∴tan∠CAD=tan∠CDF=,
∴AD=2CD,
∴DC2+(2CD)2=102,
∴CD=2,
∵△CDF∽△CAD,
∴DC2=CFAC,
∴CF=2,
∴CD=DE,
∵OF⊥AC,
∴EF=CF=2,
∴AE=10﹣2﹣2=6.
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【題目】隨著新能源汽車的發(fā)展,某公交公司將用新能源公交車淘汰某一條線路上“冒黑煙”較嚴重的燃油公交車,計劃購買A型和B型新能源公交車共10輛,若購買A型公交車1輛,B型公交車2輛,共需300萬元;若購買A型公交車2輛,B型公交車1輛,共需270萬元,
(1)求購買A型和B型公交車每輛各需多少萬元?
(2)預計在該條線路上A型和B型公交車每輛年均載客量分別為80萬人次和100萬人次.若該公司購買A型和B型公交車的總費用不超過1000萬元,且確保這10輛公交車在該線路的年均載客量總和不少于900萬人次,則該公司有哪幾種購車方案?哪種購車方案總費用最少?最少總費用是多少?
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,一次函數y=x+b的圖象經過點A(0,1),與反比例函數y=(x>0)的圖象交于B(m,2).
(1)求k和b的值;
(2)在雙曲線y=(x>0)上是否存在點C,使得△ABC為等腰直角三角形?若存在,求出點C坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,一次函數y=kx+3的圖象分別交x軸、y軸于點B、點C,與反比例函數的圖象在第四象限的相交于點P,并且PA⊥y軸于點A,已知A (0,﹣6),且S△CAP=18.
(1)求上述一次函數與反比例函數的表達式;
(2)設Q是一次函數y=kx+3圖象上的一點,且滿足△OCQ的面積是△BCO面積的2倍,求出點Q的坐標.
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【題目】(2014山東淄博)如圖,四邊形ABCD中,AC⊥BD交BD于點E,點F,M分別是AB,BC的中點,BN平分∠ABE交AM于點N,AB=AC=BD,連接MF,NF.
(1)判斷△BMN的形狀,并證明你的結論;
(2)判斷△MFN與△BDC之間的關系,并說明理由.
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【題目】如圖,對稱軸為直線x=1的拋物線經過A(﹣1,0)、C(0,3)兩點,與x軸的另一個交點為B,點D在y軸上,且OB=3OD
(1)求該拋物線的表達式;
(2)設該拋物線上的一個動點P的橫坐標為t
①當0<t<3時,求四邊形CDBP的面積S與t的函數關系式,并求出S的最大值;
②點Q在直線BC上,若以CD為邊,點C、D、Q、P為頂點的四邊形是平行四邊形,請求出所有符合條件的點P的坐標.
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【題目】如圖①,O為坐標原點,點B在x軸的正半軸上,四邊形OACB是平行四邊形,sin∠AOB=,反比例函數y=(k>0)在第一象限內的圖象經過點A,與BC交于點F.
(1)若OA=10,求反比例函數解析式;
(2)若點F為BC的中點,且△AOF的面積S=12,求OA的長和點C的坐標;
(3)在(2)中的條件下,過點F作EF∥OB,交OA于點E(如圖②),點P為直線EF上的一個動點,連接PA,PO.是否存在這樣的點P,使以P、O、A為頂點的三角形是直角三角形?若存在,請直接寫出所有點P的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,四邊形OABC為菱形,點C的坐標為(4,0),∠AOC=60°,垂直于x軸的直線l從y軸出發(fā),沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度運動,設直線l與菱形OABC的兩邊分別交于點M、N(點M在點N的上方).
(1)求A、B兩點的坐標;
(2)設△OMN的面積為S,直線l運動時間為t秒(0≤t≤6),試求S與t的函數表達式;
(3)在題(2)的條件下,是否存在某一時刻,使得△OMN的面積與OABC的面積之比為3:4?如果存在,請求出t的取值;如果不存在,請說明理由.
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【題目】已知拋物線(是常數)經過點.
(1)求該拋物線的解析式和頂點坐標;
(2)P(m,t)為拋物線上的一個動點,關于原點的對稱點為.
①當點落在該拋物線上時,求的值;
②當點落在第二象限內,取得最小值時,求的值.
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