Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=ax²+bx+c交x軸于A（2，0），B（6，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若此拋物線的對稱軸與直線y=2x交于點(diǎn)D，作⊙D與x軸相切，⊙D交y軸于點(diǎn)E、F兩點(diǎn)，求劣弧EF的長；
（3）P為此拋物線在第二象限圖象上的一點(diǎn)，PG垂直于x軸，垂足為點(diǎn)G，試確定P點(diǎn)的位置，使得△PGA的面積被直線AC分為1：2兩部分？

Answer 1

【答案】分析：（1）將A、B、C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求得待定系數(shù)的值；
（2）根據(jù)（1）得到的拋物線的解析式，可求出其對稱軸方程聯(lián)立直線OD的解析式即可求出D點(diǎn)的坐標(biāo)；由于⊙D與x軸相切，那么D點(diǎn)縱坐標(biāo)即為⊙D的半徑；欲求劣弧EF的長，關(guān)鍵是求出圓心角∠EDF的度數(shù)，連接DE、DF，過D作y軸的垂線DM，則DM即為D點(diǎn)的橫坐標(biāo)，通過解直角三角形易求得∠EDM和∠FDM的度數(shù)，即可得到∠EDF的度數(shù)，進(jìn)而可根據(jù)弧長計(jì)算公式求出劣弧EF的長；
（3）易求得直線AC的解析式，設(shè)直線AC與PG的交點(diǎn)為N，設(shè)出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)拋物線與直線AC的解析式即可得到P、N的縱坐標(biāo)，進(jìn)而可求出PN，NG的長；Rt△PGA中，△PNA與△NGA同高不等底，那么它們的面積比等于底邊PN、NG的比，因此本題可分兩種情況討論：
①△PNA的面積是△NGA的2倍，則PN：NG=2：1；②△PNA的面積是△NGA的，則NG=2PN；
可根據(jù)上述兩種情況所得的不同等量關(guān)系求出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而由拋物線的解析式確定出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（2，0），B（6，0），；
∴，
解得；
∴拋物線的解析式為：；（3分）

（2）易知拋物線的對稱軸是x=4，
把x=4代入y=2x，得y=8，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，8）；
∵⊙D與x軸相切，∴⊙D的半徑為8；（1分）
連接DE、DF，作DM⊥y軸，垂足為點(diǎn)M；
在Rt△MFD中，F(xiàn)D=8，MD=4，
∴cos∠MDF=；
∴∠MDF=60°，
∴∠EDF=120°；（2分）
∴劣弧EF的長為：；（1分）

（3）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b；
∵直線AC經(jīng)過點(diǎn)，
∴，
解得；
∴直線AC的解析式為：；（1分）
設(shè)點(diǎn)，PG交直線AC于N，
則點(diǎn)N坐標(biāo)為，
∵S_△PNA：S_△GNA=PN：GN；
∴①若PN：GN=1：2，則PG：GN=3：2，PG=GN；
即=；
解得：m₁=-3，m₂=2（舍去）；
當(dāng)m=-3時，=；
∴此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為；（2分）
②若PN：GN=2：1，則PG：GN=3：1，PG=3GN；
即=；
解得：m₁=-12，m₂=2（舍去）；
當(dāng)m₁=-12時，=；
∴此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為；
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為或時，△PGA的面積被直線AC分成1：2兩部分．（2分）
點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點(diǎn)、圖形面積的求法等知識，需要特別注意的是（3）題中，△PGA被直線AC所分成的兩部分中，并沒有明確誰大誰小，所以要分類討論，以免漏解．