Question

1．已知直線(xiàn)y=-$\frac{3}{4}x+3$分別交x軸、y軸于A(yíng)、B兩點(diǎn)，線(xiàn)段OA上有一動(dòng)點(diǎn)P由原點(diǎn)O向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線(xiàn)交直線(xiàn)AB于點(diǎn)C，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，以C為頂點(diǎn)的拋物線(xiàn)y=（x+m）²+n與直線(xiàn)AB的另一交點(diǎn)為D，設(shè)△COD的OC邊上的高為h，當(dāng)t=$\frac{36}{25}$時(shí)，h的值最大．

Answer 1

分析 根據(jù)過(guò)點(diǎn)D作DE⊥CP于點(diǎn)E，得出△DEC∽△AOB，進(jìn)而得出CD的長(zhǎng)；要使OC邊上的高H的值最大，只要OC最短，當(dāng)OC⊥AB時(shí)，CO最短，此時(shí)OC的長(zhǎng)為$\frac{12}{5}$，∠BCO=90°，進(jìn)而得出t的值．

解答 解：如圖：

以C為頂點(diǎn)的拋物線(xiàn)解析式為y=（x-t）²-$\frac{3}{4}$t+3，
由（x-t）²-$\frac{3}{4}$t+3=-$\frac{3}{4}$x+3，
解得：x₁=t，x₂=t-$\frac{3}{4}$，
過(guò)點(diǎn)D作DE⊥CP于點(diǎn)E，
則∠DEC=∠AOB=90°，
DE∥OA，
∴∠EDC=∠OAB，
∴△DEC∽△AOB，
∴$\frac{DE}{AO}$=$\frac{CD}{AB}$，
∵AO=4，AB=5，DE=t-（t-$\frac{3}{4}$）=$\frac{3}{4}$，
∴CD=$\frac{DE•BA}{AO}$=$\frac{\frac{3}{4}×5}{4}$=$\frac{15}{16}$；
CD邊上的高=$\frac{3×4}{5}$=$\frac{12}{5}$，
∴S_△COD=$\frac{1}{2}$×$\frac{15}{16}$=$\frac{9}{8}$，
∴S_△COD為定值，
要使OC邊上的高H的值最大，只要OC最短，
∵當(dāng)OC⊥AB時(shí)，CO最短，此時(shí)OC的長(zhǎng)為$\frac{12}{5}$，∠BCO=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠COP=90°-∠BOC=∠OBA，
又∵CP⊥OA，
∴Rt△PCO∽R(shí)t△OAB，
∴$\frac{OP}{OB}$=$\frac{OC}{BA}$，
∴OP=$\frac{OC•BO}{BA}$=$\frac{12}{5}$×$\frac{3}{5}$=$\frac{36}{25}$，即t=$\frac{36}{25}$，
當(dāng)t為$\frac{36}{25}$秒時(shí)，h的值最大．
故答案為：$\frac{36}{25}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，利用已知得出相似三角形，進(jìn)而得出線(xiàn)段長(zhǎng)度是解題關(guān)鍵．