Question

13．已知：如圖在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的邊OA在y軸的負(fù)半軸上，OC在x軸的正半軸上，OA=2，OC=3，過原點(diǎn)O作∠AOC的平分線交線段AB于點(diǎn)D，連接DC，過點(diǎn)D作DE⊥DC，交線段OA于點(diǎn)E．
（1）求過點(diǎn)E、D、C的拋物線的解析式；
（2）如圖2將∠EDC繞點(diǎn)D按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后，角的一邊與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)F，另一邊與線段OC交于點(diǎn)G，如果DF與（1）中的拋物線交于另一點(diǎn)M，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為$\frac{6}{5}$，求證：EF=2GO；
（3）對于（2）中的點(diǎn)G，在位于第四象限內(nèi)的該跑物像上是否存在點(diǎn)Q，使得直線GQ與AB的交點(diǎn)P與點(diǎn)C、G構(gòu)成的△PCG是等腰三角形？若存在，請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法求解拋物線解析式；
（2）利用待定系數(shù)法求解直線解析式，得到F（0，-3），EF=2，從而得出∠FDA=∠GDK，KG=AF即可；
（3）分三種情況，①PG=PC，②若PG=GC，③若PG=GC，由勾股定理解得即可．

解答 解：（1）由已知，得C（3，0），D（2，-2），
∵∠ADE=90°-∠CDB=∠BCD，
∴AD=BC，AD=2，
∴E（0，-1），設(shè)過點(diǎn)E，D，C的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），
將點(diǎn)E，D，C的坐標(biāo)分別代入，得$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b+c=-2}\\{9a+3b+c=0}\\{c=-1}\end{array}\right.$；
解這個方程組，得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{5}{6}}\\{b=-\frac{13}{6}}\end{array}\right.$，
∴拋物線點(diǎn)的解析式為y=$\frac{5}{6}$x²-$\frac{13}{6}$x-1；
（2）證明：如圖2，

∵點(diǎn)M在拋物線上，且它的橫坐標(biāo)為$\frac{6}{5}$，
∴M（$\frac{6}{5}$，-$\frac{12}{5}$）
設(shè)DM的解析式為y=kx+m（k≠0），
將點(diǎn)D，M的坐標(biāo)分別代入，得$\left\{\begin{array}{l}{2k+m=-2}\\{\frac{6}{5}k+m=-\frac{12}{5}}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{m=-3}\end{array}\right.$，
∴DM的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-3，
∴F（0，-3），
∵E（0，-1），
∴EF=2．
過點(diǎn)D作DK⊥OC于K，
∴DA=DK，
∵∠ADK=∠FDG=90°，
∴∠FDA=∠GDK，
∴KG=AF=1，
∵OC=3，
∴EF=2GO．
（3）如圖3：

∵點(diǎn)P在AB上，G（1，0），C（3，0），
則設(shè)P（t，-2），
∴PG²=（t-1）²+2²，PC²=（3-t）²+2²，CG=2
①PG=PC，
∴（t-1）²+2²=（3-t）²+2²，
∴t=2
∴P（2，-2），
此時點(diǎn)Q與點(diǎn)P重合，
∴Q（2，-2），
②若PG=GC，
∴（t-1）²+2²=2²，
∴t=1，
∴P（1，-2），
此時GP⊥x軸，GP與拋物線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為1，
∴Q的縱坐標(biāo)為-$\frac{7}{3}$，
∴Q（1，-$\frac{7}{3}$）．
③若PG=GC，
∴（3-t）²+2²=2²，
∴t=3，
∴P（3，-2），此時PC=GC=2，
∴△PGC為等腰直角三角形，過點(diǎn)Q作QH⊥x軸于點(diǎn)H，
∴QH=GH，設(shè)QH=h，
∴Q（h+1，-h），
∴$\frac{5}{6}$（h+1）²-$\frac{13}{6}$（h+1）-1=-h，
∴h=-2（舍）或h=$\frac{7}{5}$，
∴Q（$\frac{12}{5}$，-$\frac{7}{5}$），
∴Q（2，-2）或Q（1，-$\frac{7}{3}$）或Q（$\frac{12}{5}$，-$\frac{7}{5}$）．

點(diǎn)評 本題是二次函數(shù)的綜合題，主要考查了待定系數(shù)法和勾股定理，解本題的關(guān)鍵是充分利用勾股定理，本題的難點(diǎn)情況考慮不全．