Question

（1）已知：如圖①，△AOB和△COD都是等邊三角形．
求證：（1）①AC=BD，②∠APB=60°；
（2）如圖②，△AOB和△COD都是等腰三角形，若OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=α，則AC與BD間的等量關系式為______，∠APB的大小為______；
（3）如圖③，在△AOB與△COD中，若OA=k•OB，OC=k•OD（k＞1），∠AOB=∠COD=α，則AC與BD間的等量關系式為______，∠APB的大小為______．

注：第（2）、（3）小題請將答案直接寫在題中橫線上．

Answer 1

解：（1）①又∵△AOB和△COD都為等邊三角形，
∴∠AOB=∠COD=60°，OA=OB，OC=OD，
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，
即∠AOC=∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC=BD；
②由△AOC≌△BOD，得∠OAC=∠OBD，
又∠AEO=∠PEB，∠APB=180°-（∠BEP+∠OBD），
∠AOB=180°-（∠OAC+∠AEO），
∴∠APB=∠AOB=60°；


（2）∵∠AOB=∠COD=α，
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，
即∠AOC=∠BOD，
又∵△AOB和△COD都為等腰三角形，
∴OA=OB，OC=OD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC=BD；
由△AOC≌△BOD，得∠OAC=∠OBD，
又∠AEO=∠PEB，∠APB=180°-（∠BEP+∠OBD），
∠AOB=180°-（∠OAC+∠AEO），
∴∠APB=∠AOB=α；

（3）∵∠AOB=∠COD=α，
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，
即∠AOC=∠BOD，
又OA=k•OB，OC=k•OD，
∴，
∴△OAC∽△OBD，
∴，即AC=k•BD
∴∠ACO=∠BDO，
又∠OED=∠PEC，
∴∠DPC=∠COD=α，
則∠APB=180°-α．
故答案為：（2）AC=BD，α；（3）AC=k•BD，180°-α
分析：（1）分析結論AC=BD可知，需要證明△AOC≌△BOD，圍繞這個目標找全等的條件，由△AOB和△COD都是等邊三角形，可得OA=OB，OD=OC，且∠AOB=∠COD=60°等號兩邊同時加上∠BOC，可得∠AOC=∠BOD，然后利用SAS可得△AOC≌△BOD，根據全等三角形的對應邊相等得證；
（2）與圖①比較，圖形條件發(fā)生了變化，仍然可以證明△AOC≌△BOD，方法類似；
（3）由∠AOB=∠COD可得∠AOC=∠BOD，再由OA=k•OB，OC=k•OD，可得兩邊對應成比例，利用兩邊對應成比例且夾角相等的兩三角形相似，可得△AOC∽△BOD，根據相似三角形的對應邊成比例可得AC=k•BD，同時根據相似三角形的對應角相等可得∠ACO=∠BDO，再由一對對頂角相等，利用三角形的內角和定理可得∠DPC=∠COD=α，最后根據鄰補角定義可表示出∠APB的度數．
點評：三角形全等的判定是中考的熱點，一般以考查三角形全等的方法為主，判定兩個三角形全等，先根據已知條件或求證的結論確定三角形，然后再根據三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．