Question

梯形ABCD是等腰梯形，且AD∥BC，O是腰CD的中點(diǎn)，以CD長為直徑作圓，交BC于E，過E作EH⊥AB于H．
（1）求證：OE∥AB；
（2）若EH=CD，求證：AB是⊙O的切線；
（3）若BE=4BH，EC=1，求⊙O的半徑．

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD是等腰梯形，
∴∠B=∠C，
∵OE=OC，
∴∠OEC=∠C，
∴∠OEC=∠B，
∴OE∥AB；

（2）證明：作OF⊥AB于F，如圖，
∵OE∥HF，
而∠EHF=90°，
∴四邊形OEHF為矩形，
∴OF=EH，
∵EH=CD，
∴OF=CD，
∴AB是⊙O的切線；

（3）解：連接DE，如圖，
∵CD是直徑，
∴∠DEC=90°，
∴∠DEC=∠EHB，
又∵∠B=∠C，
∴△EHB∽△DEC，
∴BH：CE=BE：CD，
∵BE=4BH，CE=1
∴CD==4，
∴⊙O的半徑為2．
分析：（1）根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)得∠B=∠C，而∠OEC=∠C，則∠OEC=∠B，根據(jù)平行線的判定即可得到OE∥AB；
（2）作OF⊥AB于F，易得四邊形OEHF為矩形，則OF=EH，而EH=CD，所以O(shè)F=CD，然后根據(jù)切線的判定方法即可得到結(jié)論；
（3）連接DE，由于CD是直徑，根據(jù)圓周角定理得到∠DEC=90°，易證得△EHB∽△DEC，則BH：CE=BE：CD，而BE=4BH，CE=1，可計算出CD=4，所以⊙O的半徑為2．
點(diǎn)評：本題考查了圓的綜合題：熟練切線的判定與性質(zhì)和圓周角定理；會利用勾股定理和三角形的相似比進(jìn)行幾何計算．