Question

6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-x-1與x軸交于A點(diǎn)，與y軸交于B點(diǎn)，拋物線y=ax²-6ax+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）C是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，連接AC，將線段AC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，當(dāng)點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在第四象限的拋物線上時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，設(shè)直線AB與拋物線對(duì)稱軸交于點(diǎn)G，連接DG，P是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的平行線交BG于點(diǎn)M，交DG于點(diǎn)N，連接CM、CN，設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為t，當(dāng)∠MCN=$\frac{1}{2}$∠AGD時(shí)，求t的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得A、B點(diǎn)坐標(biāo)，再把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y=ax²-6ax+c，利用待定系數(shù)法，可得拋物線的解析式；
（2）設(shè)拋物線對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)F，作DE⊥CF于點(diǎn)E．利用AAS證明△ACF≌△CDE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得AF=CE，CF=DE，設(shè)C（3，m），則AF=CE=4，CF=DE=m，D（m+3，m-4），將D（m+3，m-4）代入拋物線的解析式，可得關(guān)于m的方程，解方程，可得答案；
（3）先求出∠AGF=∠DGE=45°，則∠AGD=90°，∠MCN=$\frac{1}{2}$∠AGD=45°．在BA延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)H，使AH=DN，證明△ACH≌△DCN，得出CH=CN，∠HCA=∠NCD，再證明△MCH≌△MCN，得出∠HMC=∠NMC．作CK⊥HM于K，求出CG=7，解Rt△CKG，得出CK=CG•sin∠CGK=$\frac{7}{2}$$\sqrt{2}$，則CP=$\frac{7}{2}$$\sqrt{2}$，t=3-$\frac{7}{2}$$\sqrt{2}$．

解答 解：（1）直線y=-x-1與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)A（-1，0），B（0，-1）．
∵拋物線y=ax²-6ax+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{（-1）^{2}a-6a×（-1）+c=0}\\{c=-1}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{7}}\\{c=-1}\end{array}\right.$，
∴y=$\frac{1}{7}$x²-$\frac{6}{7}$x-1；

（2）如圖，設(shè)拋物線對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)F，作DE⊥CF于點(diǎn)E，
∵y=$\frac{1}{7}$x²-$\frac{6}{7}$x-1的對(duì)稱軸x=3，
∴F（3，0）．
∵CF⊥x軸，DE⊥CE，
∴∠AFC=∠AFE=∠CED=90°．
∵∠CAF+∠ACF=∠DCE+∠ACF=90°，
∴∠CAF=∠DCE．
在△ACF和△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAF=∠DCE}\\{∠AFC=∠CED=90°}\\{AC=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△CDE（AAS），
∴AF=CE，CF=DE．
設(shè)C（3，m），則AF=CE=4，CF=DE=m，D（m+3，m-4），
將D（m+3，m-4）代入拋物線的解析式，
得m-4=$\frac{1}{7}$（m+3）²-$\frac{6}{7}$（m+3）-1，
解得m₁=3，m₂=4（舍），
∴D（6，-1）；

（3）由（1）知A（-1，0），由（2）知F（3，0），
則OA=1，OF=3．
∴AF=4．
由（2）知DE=3，C（3，3），
當(dāng)x=3時(shí)，y=-3-1=-4，
∴G（3，-4），
∴AF=FG=4，
∵D（6，-1），
∴EF=1，
∴EG=3．
∴DE=GE=3，
∵∠AFG=∠DEG=90°，
∴∠FAG=∠FGA=45°，∠EDG=∠EGD=45°，
∴∠AGF=∠DGE=45°，
∴∠AGD=90°．
∵∠MCN=$\frac{1}{2}$∠AGD，
∴∠MCN=45°．
在四邊形CAGD中，∵∠CAG+∠AGD+∠CDG+∠ACD=360°，
∴∠CAG+∠CDG=180°．
如圖，在BA延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)H，使AH=DN，
∵∠CAG+∠CAH=180°，
∴∠CAH=∠CDG．
∵AC=CD，
∴△ACH≌△DCN，
∴CH=CN，∠HCA=∠NCD．
∵∠ACN+∠NCD=90°，
∴∠ACN+∠HCA=90°，
∴∠HCM=∠NCM=45°．
在△MCH與△MCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{CH=CN}\\{∠HCM=∠NCM}\\{CM=CM}\end{array}\right.$，
∴△MCH≌△MCN，
∴∠HMC=∠NMC．
∵M(jìn)N∥x軸，
∴CP⊥MN，
作CK⊥HM于K，
∴CK=CP，由C（3，3），G（3，-4），
∴CG=7．
在Rt△CKG中，CK=CG•sin∠CGK=$\frac{7}{2}$$\sqrt{2}$，
∴CP=$\frac{7}{2}$$\sqrt{2}$，
∴t=3-$\frac{7}{2}$$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)綜合題，其中涉及到待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等知識(shí)．本題綜合性較強(qiáng)，難度較大，準(zhǔn)確作出輔助線利用數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．