【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx﹣3(a≠0)的頂點為E,該拋物線與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C,且BO=OC=3AO,直線y=﹣x+1與y軸交于點D.
(1)求拋物線的解析式;
(2)證明:△DBO∽△EBC;
(3)在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使△PBC是等腰三角形?若存在,請直接寫出符合條件的P點坐標(biāo),若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3;(2)詳見解析;(3)符合條件的P點坐標(biāo)為P(1,﹣1)或P(1,)或P(1,﹣)或P(1,﹣3+)或P(1,﹣3﹣).
【解析】
試題分析:(1)先求出點C的坐標(biāo),在由BO=OC=3AO,確定出點B,A的坐標(biāo),最后用待定系數(shù)法求出拋物線解析式;(2)先求出點A,B,C,D,E的坐標(biāo),從而求出BC=3,BE=2,CE=,OD=1,OB=3,BD=,求出比值,得到得出結(jié)論;(3)設(shè)出點P的坐標(biāo),表示出PB,PC,求出BC,分三種情況計算即可.
試題解析:(1)∵拋物線y=ax2+bx﹣3,
∴c=﹣3,
∴C(0,﹣3),
∴OC=3,
∵BO=OC=3AO,
∴BO=3,AO=1,
∴B(3,0),A(﹣1,0),
∵該拋物線與x軸交于A、B兩點,
∴,
∴,
∴拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3,
(2)由(1)知,拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,
∴E(1,﹣4),
∵B(3,0),A(﹣1,0),C(0,﹣3),
∴BC=3,BE=2,CE=,
∵直線y=﹣x+1與y軸交于點D,
∴D(0,1),
∵B(3,0),
∴OD=1,OB=3,BD=,
∴,,,
∴,
∴△BCE∽△BDO,
(3)存在,
理由:設(shè)P(1,m),
∵B(3,0),C(0,﹣3),
∴BC=3,PB=,PC=,
∵△PBC是等腰三角形,
①當(dāng)PB=PC時,
∴=,
∴m=﹣1,
∴P(1,﹣1),
②當(dāng)PB=BC時,
∴3=,
∴m=±,
∴P(1,)或P(1,﹣),
③當(dāng)PC=BC時,
∴3=,
∴m=﹣3±,
∴P(1,﹣3+)或P(1,﹣3﹣),
∴符合條件的P點坐標(biāo)為P(1,﹣1)或P(1,)或P(1,﹣)或P(1,﹣3+)或P(1,﹣3﹣).
考點:二次函數(shù)的綜合題.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=,D,E分別為AC,AB的中點,BF∥CE交DE的延長線于點F.
(1)求證:四邊形ECBF是平行四邊形;
(2) 當(dāng)∠A=時,求證:四邊形ECBF是菱形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某電腦公司銷售部為了定制下個月的銷售計劃,對20位銷售員本月的銷售量進(jìn)行了統(tǒng)計,繪制成如圖所示的統(tǒng)計圖,則這20位銷售人員本月銷售量的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)分別是( )
A.19,20,14 B.19,20,20 C.18.4,20,20 D.18.4,25,20
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