【題目】在平面直角坐標系中,四邊形AOBC是矩形,點O(0,0),點A(5,0),點B(0,3).以點A為中心,順時針旋轉(zhuǎn)矩形AOBC,得到矩形ADEF,點O,B,C的對應點分別為D,E,F.
(1)如圖①,當點D落在BC邊上時,求點D的坐標;
(2)如圖②,當點D落在線段BE上時,AD與BC交于點H.
①求證△ADB≌△AOB;
②求點H的坐標.
(3)記K為矩形AOBC對角線的交點,S為△KDE的面積,求S的取值范圍(直接寫出結(jié)果即可).
【答案】(1)D(1,3);(2)①詳見解析;②H(,3);(3)≤S≤.
【解析】
(1)如圖①,在Rt△ACD中求出CD即可解決問題;
(2)①根據(jù)HL證明即可;
②,設AH=BH=m,則HC=BC-BH=5-m,在Rt△AHC中,根據(jù)AH2=HC2+AC2,構(gòu)建方程求出m即可解決問題;
(3)如圖③中,當點D在線段BK上時,△DEK的面積最小,當點D在BA的延長線上時,△D′E′K的面積最大,求出面積的最小值以及最大值即可解決問題;
(1)如圖①中,
∵A(5,0),B(0,3),
∴OA=5,OB=3,
∵四邊形AOBC是矩形,
∴AC=OB=3,OA=BC=5,∠OBC=∠C=90°,
∵矩形ADEF是由矩形AOBC旋轉(zhuǎn)得到,
∴AD=AO=5,
在Rt△ADC中,CD==4,
∴BD=BC-CD=1,
∴D(1,3).
(2)①如圖②中,
由四邊形ADEF是矩形,得到∠ADE=90°,
∵點D在線段BE上,
∴∠ADB=90°,
由(1)可知,AD=AO,又AB=AB,∠AOB=90°,
∴Rt△ADB≌Rt△AOB(HL).
②如圖②中,由△ADB≌△AOB,得到∠BAD=∠BAO,
又在矩形AOBC中,OA∥BC,
∴∠CBA=∠OAB,
∴∠BAD=∠CBA,
∴BH=AH,設AH=BH=m,則HC=BC-BH=5-m,
在Rt△AHC中,∵AH2=HC2+AC2,
∴m2=32+(5-m)2,
∴m=,
∴BH=,
∴H(,3).
(3)如圖③中,當點D在線段BK上時,△DEK的面積最小,最小值=DEDK=×3×(5-)=,
當點D在BA的延長線上時,△D′E′K的面積最大,最大面積=×D′E′×KD′=×3×(5+)=.
綜上所述,≤S≤.
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【題目】如圖,點A1的坐標為(2,0),過點A1作x軸的垂線交直線l:y=x于點B1,以原點O為圓心,OB1的長為半徑畫弧交x軸正半軸于點A2;再過點A2作x軸的垂線交直線l于點B2,以原點O為圓心,以OB2的長為半徑畫弧交x軸正半軸于點A3;….按此作法進行下去,則的長是_____.
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【題目】如圖,某電腦公司現(xiàn)有A,B,C三種型號的甲品牌電腦和D,E兩種型號的乙品牌電腦.希望中學要從甲、乙兩種品牌電腦中各選購一種型號的電腦.
(1)寫出所有選購方案(利用樹狀圖或列表方法表示);
(2)如果(1)中各種選購方案被選中的可能性相同,那么A型號電腦被選中的概率是多少?
(3)現(xiàn)知希望中學用10萬元購買甲、乙兩種品牌電腦共36臺(價格如圖所示),其中甲品牌電腦為A型號電腦,求購買的A型號電腦有多少臺?
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【題目】“2018雙十一購物狂歡節(jié)”,阿里巴巴天貓在開場的2分5秒交易額超100億元.劉老師為此提前花88元購買了一張“88VIP”卡,使用此卡可享受部分特定商品九五折.
(1)為了使買的“88VIP”卡不虧,劉老師應至少選購多少元特定商品?
(2)劉老師在“雙十一”到來之前,分別在兩家店里選了一套標價為1100元的書籍和一件標價為990元的羽絨服.據(jù)了解,雙十一當天書籍可以使用“88VIP”卡,并降價;同時,劉老師發(fā)現(xiàn)聰明的老板先將羽絨服提價,雙十一當天再降價.最后劉老師雙十一購買兩種商品所花費的總金額恰好是 (1) 中的最小值,求m的值.
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【題目】某公司大門出口處有一自動感應欄桿,點A是欄桿轉(zhuǎn)動的支點,當車輛經(jīng)過時,欄桿AE會自動升起,某天早上,欄桿發(fā)生故障,在某個位置突然卡住,這時測得欄桿升起的角度∠BAE=127°,已知AB⊥BC,支架AB高1.2米,大門BC打開的寬度為2米,這時一輛長寬高分別為(4600 mm、1700 mm、1400 mm)的汽車能否順利通過?(欄桿寬度,汽車反光鏡忽略不計,參考數(shù)據(jù):sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75.)
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【題目】我省松原地震后,某校開展了“我為災區(qū)獻愛心”捐款活動,八年級一班的團支部對全班50人捐款數(shù)額進行了統(tǒng)計,繪制出如下的統(tǒng)計圖.
(1)把統(tǒng)計圖補充完整;
(2)直接寫出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù);
(3)若該校共有學生1600人,請根據(jù)該班的捐款情況估計該校捐款金額為20元的學生人數(shù).
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【題目】如圖,科技小組準備用材料圍建一個面積為60m2的矩形科技園ABCD,其中一邊AB靠墻,墻長為12m。設AD的長為xm,DC的長為ym。
(1)求y與x之間的函數(shù)關系式;
(2)若圍成矩形科技園ABCD的三邊材料總長不超過26m,材料AD和DC的長都是整米數(shù),求出滿足條件的所有圍建方案。
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【題目】如圖,點E是正方形ABCD中CD邊上任意一點,AB=4,以點A為中心,把△ADE順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△AD′F
(1)畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形,求證:點C、B、F三點共線;
(2)AG平分∠EAF交BC于點G.
①如圖2,連接EF.若BG:CE=5:6,求△AEF的面積;
②如圖3,若BM、DN分別為正方形的兩個外角角平分線,交AG、AE的延長線于點M、N.當MM∥DC時,直接寫出DN的長.
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【題目】探究:如圖①,在ABCD中,E為BC的中點,AE與BD相交于點M.求證:.
應用:如圖②,在四邊形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,點E、F分別為AB、BC的中點,EF與BD相交于點M,連結(jié)AC.若ME=3,則AC的長為 .
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