Question

17．兩個城鎮(zhèn)A、B與兩條公路ME，MF位置如圖所示，其中ME是東西方向的公路．現(xiàn)電信部門需在C處修建一座信號發(fā)射塔，要求發(fā)射塔到兩個城鎮(zhèn)A、B的距離必須相等，到兩條公路ME，MF的距離也必須相等，且在∠FME的內(nèi)部．
（1）點(diǎn)C應(yīng)選在何處？請?jiān)趫D中，用尺規(guī)作圖找出符合條件的點(diǎn)C．（不寫已知、求作、作法，只保留作圖痕跡）
（2）點(diǎn)C到公路ME的距離為2km，設(shè)AB的垂直平分線交ME于點(diǎn)N，點(diǎn)M處測得點(diǎn)C位于點(diǎn)M的北偏東60°方向，在N處沒得點(diǎn)C位于點(diǎn)N的北偏西45°方向，求MN的長（結(jié)果保留根號）

Answer 1

分析 （1）到城鎮(zhèn)A、B距離相等的點(diǎn)在線段AB的垂直平分線上，到兩條公路距離相等的點(diǎn)在兩條公路所夾角的角平分線上，分別作出垂直平分線與角平分線，它們的交點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)C；
（2）作CD⊥MN于點(diǎn)D．由三角函數(shù)得出MD=$\sqrt{3}$CD，DN=CD，于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）如圖所示，點(diǎn)C即為所求；

（2）作CD⊥MN于點(diǎn)D，
由題意得：∠CMN=30°，∠CND=45°，
∵在Rt△CMD中，$\frac{CD}{MD}$=tan∠CMN，
∴MD=$\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=2$\sqrt{3}$；
∵在Rt△CND中，$\frac{CD}{DN}$=tan∠CNM，
∴ND=CD=2，
∵M(jìn)N=DM+DN=2$\sqrt{3}$+2km，

點(diǎn)評 本題考查了解直角三角形的應(yīng)用、作圖-設(shè)計；熟練掌握基本作圖和解直角三角形是解決問題的關(guān)鍵．