【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線y=x+2與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)C.拋物線y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸是直線x=-,且經(jīng)過A,C兩點(diǎn),與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B.

(1)①直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo);②求拋物線的解析式.

(2)拋物線上是否存在點(diǎn)M,過點(diǎn)M作MN垂直x軸于點(diǎn)N,使得以點(diǎn)A,M,N為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)①點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0);y=-x2x2(2)存在點(diǎn)M1(0,2),M2(3,2),M3(2,-3),M4(5,-18),使得以點(diǎn)AM,N為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似.

【解析】【試題分析】(1)①先求的直線y=x+2xy軸交點(diǎn)的坐標(biāo),然后利用拋物線的對(duì)稱性可求得點(diǎn)B的坐標(biāo);②設(shè)拋物線的解析式為y=y=ax+4)(x1),然后將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入即可求得a的值;(3)證明△ABC∽△ACO∽△CBO,然后分以下幾種情況分類討論即可:①當(dāng)M點(diǎn)與C點(diǎn)重合,即M02)時(shí),△MAN∽△BAC;②根據(jù)拋物線的對(duì)稱性,當(dāng)M32)時(shí),△MAN∽△ABC當(dāng)點(diǎn)M在第四象限時(shí),解題時(shí),需要注意相似三角形的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

試題解析:

(1)①對(duì)于直線yx2,當(dāng)x0時(shí),y2;當(dāng)y0時(shí),x=-4,

C(0,2),A(40)

由拋物線的對(duì)稱性可知:點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于直線x=-對(duì)稱,

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0)

②∵拋物線yax2bxcA(4,0)B(1,0),

∴可設(shè)拋物線解析式為ya(x4)(x1),

又∵拋物線過點(diǎn)C(0,2)

2=-4a,

a=-,

y=-x2x2 

(2)RtAOC中,易知ABC∽△ACO∽△CBO,

如圖,①當(dāng)M點(diǎn)與C點(diǎn)重合,即M(0,2)時(shí),MAN∽△BAC;

②根據(jù)拋物線的對(duì)稱性,當(dāng)M(3,2)時(shí),MAN∽△ABC

③當(dāng)點(diǎn)M在第四象限時(shí),設(shè)M(n,- n2n2),則N(n,0),

MNn2n2,ANn4

當(dāng)時(shí),MNAN,即n2n2 (n4),

整理得n22n80,解得n1=-4(),n22

M(2,-3);

當(dāng)時(shí),MN2AN,即n2n22(n4),

整理得n2n200解得n1=-4(),n25,

M(5,-18)

綜上所述,存在點(diǎn)M1(0,2),M2(32),M3(2,-3),M4(5,-18),使得以點(diǎn)A,MN為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似.

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(1)直接寫出a的值,并補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖.

分組

頻數(shù)

頻率

49.5~59.5

0.08

59.5~69.5

0.12

69.5~79.5

20

79.5~89.5

32

89.5~100.5

a

(2)若成績?cè)?/span>80分以上(含80分)為優(yōu)秀,求這次參賽的學(xué)生中成績?yōu)閮?yōu)秀的約為多少人?

(3)若這組被抽查的學(xué)生成績的中位數(shù)是80分,請(qǐng)直接寫出被抽查的學(xué)生中得分為80分的至少有多少人?

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A. (0,21008 B. (21008,21008 C. (21009,0) D. (21009,-21009

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