【題目】請閱讀下列材料,并完成相應(yīng)的任務(wù).
人類會作圓并且真正了解圓的性質(zhì)是在2000多年前,由我國的墨子給出圓的概念:“一中同長也.”.意思說,圓有一個圓心,圓心到圓周的長都相等.這個定義比希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得給圓下的定義要早100年.與圓有關(guān)的定理有很多,弦切角定理就是其中之一.
我們把頂點在圓上,一邊和圓相交,另一邊和圓相切的角叫做弦切角.
弦切角定理:弦切角的度數(shù)等于它所夾弧所對的圓周角度數(shù).
下面是弦切角定理的部分證明過程:
證明:如圖①,AB與⊙O相切于點A.當(dāng)圓心O在弦AC上時,容易得到∠CAB=90°,所以弦切角∠BAC的度數(shù)等于它所夾半圓所對的圓周角度數(shù).
如圖②,AB與⊙O相切于點A,當(dāng)圓心O在∠BAC的內(nèi)部時,過點A作直徑AD交⊙O于點D,在上任取一點E,連接EC,ED,EA,則∠CED=∠CAD.
…
任務(wù):
(1)請按照上面的證明思路,寫出該證明的剩余部分;
(2)如圖③,AB與⊙O相切于點A.當(dāng)圓心O在∠BAC的外部時,請寫出弦切角定理的證明過程.
【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析
【解析】
(1)利用圓周角定理得到∠DEA=90°,再根據(jù)同弧所對的圓周角相等得到∠CED=∠CAD,最后利用等式的性質(zhì)即可得到∠CEA=∠CAB;
(2)通過∠C=90°說明∠CFA+∠FAC=90°,再根據(jù)同角的余角相等得到∠CAB=∠CFA即可.
解:(1)∵AD是⊙O直徑,
∴∠DEA=90°.
∵AB與⊙O相切于點A,
∴∠DAB=90°.
∴∠CED+∠DEA=∠CAD+∠DAB,即∠CEA=∠CAB.
∴弦切角的度數(shù)等于它所夾弧所對的圓周角度數(shù);
(2)證明:如圖,過點A作直徑AF交⊙O于點F,連接FC.
∵AF是直徑,
∴∠ACF=90°.
∴∠CFA+∠FAC=90°.
∵AB與⊙O相切于點A,
∴∠FAB=90°.
∴∠CAB+∠FAC=90°.
∴∠CAB=∠CFA,
即弦切角的度數(shù)等于它所夾弧所對的圓周角度數(shù).
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知△A1B1C1,△A2B2C2的周長相等,現(xiàn)有兩個判斷:
①若A1B1=A2B2,A1C1=A2C2,則△A1B1C1≌△A2B2C2;
②若∠A1=∠A2,∠B1=∠B2,則△A1B1C1≌△A2B2C2,
對于上述的兩個判斷,下列說法正確的是( 。
A. ①正確,②錯誤 B. ①錯誤,②正確 C. ①,②都錯誤 D. ①,②都正確
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知點A(﹣1,0),B(3,0),C(0,1)在拋物線y=ax2+bx+c上.
(1)求拋物線解析式;
(2)在直線BC上方的拋物線上求一點P,使△PBC面積為1;
(3)在x軸下方且在拋物線對稱軸上,是否存在一點Q,使∠BQC=∠BAC?若存在,求出Q點坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】4月18日,一年一度的“風(fēng)箏節(jié)”活動在市政廣場舉行,如圖,廣場上有一風(fēng)箏A,小江抓著風(fēng)箏線的一端站在D處,他從牽引端E測得風(fēng)箏A的仰角為67°,同一時刻小蕓在附近一座距地面30米高(BC=30米)的居民樓頂B處測得風(fēng)箏A的仰角是45°,已知小江與居民樓的距離CD=40米,牽引端距地面高度DE=1.5米,根據(jù)以上條件計算風(fēng)箏距地面的高度(結(jié)果精確到0.1米,參考數(shù)據(jù):sin67°≈,cos67°≈,tan67°≈,≈1.414).
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【題目】如圖是一種雪球夾的簡化結(jié)構(gòu)圖,其通過一個固定夾體和一個活動夾體的配合巧妙地完成夾雪、投雪的操作,不需人手直接接觸雪,使用方便,深受小朋友的喜愛.當(dāng)雪球夾閉合時,測得∠AOB=30°,OA=OB=14 cm,則此款雪球夾制作的雪球的直徑AB的長度為________ cm.(結(jié)果保留一位小數(shù).參考數(shù)據(jù):sin15°≈0.26,cos15°≈0.97,tan15°≈0.27)
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,的三個頂點坐標(biāo)為,,,繞原點逆時針旋轉(zhuǎn),得到,向右平移6個單位,再向上平移2個單位得到.
(1)畫出和;
(2)是的邊上一點,經(jīng)旋轉(zhuǎn)、平移后點的對應(yīng)點分別為、,請寫出點、的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】勾股定理是幾何中的一個重要定理,在我國古算書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三,股四,則弦五”的記載.如圖1是由邊長相等的小正方形和直角三角形構(gòu)成的,可以用其面積關(guān)系驗證勾股定理.圖2是由圖1放入矩形內(nèi)得到的,已知∠BAC=90°,AB=6,AC=8,點D、E、F、G、H、I都在矩形KLMJ的邊上,則矩形KLMJ的周長為( )
A. 40B. 44C. 84D. 88
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,二次函數(shù)的圖象與x軸交于點和點B,與y軸交于點.
求該二次函數(shù)的表達(dá)式;
過點A的直線且交拋物線于另一點D,求直線AD的函數(shù)表達(dá)式;
在的條件下,在x軸上是否存在一點P,使得以B、C、P為頂點的三角形與相似?若存在,求出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在中,點為上一點,點為上一點,且.
(1)如圖1,若,求證:;
(2)如圖2,若,求證:;
(3) 如圖3,在(2)的條件下,若,且,,直接寫出線段的長.
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