【題目】如圖1,在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=2AB=8,點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn),連接DE,將△EDC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),記旋轉(zhuǎn)角為α.
(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)
①當(dāng)α=0°時(shí),= ;②當(dāng)α=180°時(shí),= .
(2)拓展探究
試判斷:當(dāng)0°≤α<360°時(shí),的大小有無(wú)變化?請(qǐng)僅就圖2的情形給出證明.
(3)問(wèn)題解決
當(dāng)△EDC旋轉(zhuǎn)至A,D,E三點(diǎn)共線時(shí),直接寫出線段BD的長(zhǎng).
【答案】(1) ;;(2)沒有變化;(3)或.
【解析】
試題分析:(1)①當(dāng)α=0°時(shí),在Rt△ABC中,由勾股定理,求出AC的值是多少;然后根據(jù)點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn),分別求出AE、BD的大小,即可求出的值是多少.
②α=180°時(shí),可得AB∥DE,然后根據(jù),求出的值是多少即可.
(2)首先判斷出∠ECA=∠DCB,再根據(jù),判斷出△ECA∽△DCB,即可求出的值是多少,進(jìn)而判斷出的大小沒有變化即可.
(3)根據(jù)題意,分兩種情況:①點(diǎn)A,D,E所在的直線和BC平行時(shí);②點(diǎn)A,D,E所在的直線和BC相交時(shí);然后分類討論,求出線段BD的長(zhǎng)各是多少即可.
試題解析:(1)①當(dāng)α=0°時(shí),
∵Rt△ABC中,∠B=90°,
∴AC=,
∵點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn),
∴,BD=8÷2=4,
∴.
②如圖1,
,
當(dāng)α=180°時(shí),
可得AB∥DE,
∵,
∴
(2)如圖2,
,
當(dāng)0°≤α<360°時(shí),的大小沒有變化,
∵∠ECD=∠ACB,
∴∠ECA=∠DCB,
又∵,
∴△ECA∽△DCB,
∴.
(3)①如圖3,
,
∵AC=4,CD=4,CD⊥AD,
∴AD=
∵AD=BC,AB=DC,∠B=90°,
∴四邊形ABCD是矩形,
∴BD=AC=.
②如圖4,連接BD,過(guò)點(diǎn)D作AC的垂線交AC于點(diǎn)Q,過(guò)點(diǎn)B作AC的垂線交AC于點(diǎn)P,
,
∵AC=,CD=4,CD⊥AD,
∴AD=,
∵點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn),
∴DE==2,
∴AE=AD-DE=8-2=6,
由(2),可得
,
∴BD=.
綜上所述,BD的長(zhǎng)為或.
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