【題目】在如圖14所示的平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)C在y軸的正半軸上,四邊形OABC為平行四邊形,OA=2,∠AOC=60°,以O(shè)A為直徑的⊙P經(jīng)過點(diǎn)C,交BC于點(diǎn)D,DE⊥AB,交AB于E。

(1)求點(diǎn)A和B的坐標(biāo);

(2)求證:DE是⊙P的切線;

(3) 小明在解答本題時(shí),發(fā)現(xiàn)連結(jié)DA并延長(zhǎng),交x軸于點(diǎn)N,則△AON是等腰三角形.由此,他斷定:“x軸上一定存在除點(diǎn)N以外的點(diǎn)Q,使△AOQ也是等腰三角形,且點(diǎn)Q一定在⊙P外”.你同意他的看法嗎?請(qǐng)充分說明理由.

【答案】(1)A點(diǎn)坐標(biāo)為(,1),B點(diǎn)坐標(biāo)為(,2)(2)證明見解析;(3)不同意。理由見解析.

【解析】試題分析:(1)首先得出,∠ACO=90°,進(jìn)而利用OA=2,∠AOC=60°,得出OC=1,AC= ,即可得出A點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而利用平行四邊形的性質(zhì)得出B點(diǎn)坐標(biāo);
(2)首先得出四邊形OADC為等腰梯形,進(jìn)而得出△PAD為等邊三角形,從而得出∠BAD=∠PDA,以及PD∥AB,即可得出答案;
(3)分別根據(jù)①當(dāng)OA=OQ時(shí),②當(dāng)OQ=AQ時(shí)求出Q點(diǎn)坐標(biāo)即可;

試題解析:

(1)解:連結(jié)AC,

∵ OA為⊙P的直徑,

∴ ∠ACO=90°,

又∵ OA=2,∠AOC=60°,

∴ OC=1,AC=,

∴ A點(diǎn)坐標(biāo)為(,1),

∵ OABC為平行四邊形,

∴ AB=OC,

∴ B點(diǎn)坐標(biāo)為(,2)。

(2)證明:連結(jié)PD、AD,如圖所示:

∵四邊形OABC是平行四邊形,

∴CD∥OA,

∴弧OC=弧AD,

∴OC=AD,

∴四邊形OADC為等腰梯形,

∴∠DAO=∠AOC=60°,

∵PA=PD,

∴△PAD為等邊三角形,

∴∠PDA=60°,

∵∠BAO=180°-60°=120°,∠DAO=60°,

∴∠BAD=60°, 

∴∠BAD=∠PDA,

∴PD∥AB,

∵DE⊥AB,

∴DE⊥PD, 

∴DE是⊙P的切線。

(3)解:不同意。理由如下::

①當(dāng)OA=OQ時(shí),

以點(diǎn)O為圓心,OA為半徑畫弧交x軸于Q1和Q3兩點(diǎn),

得點(diǎn)Q1(-2,0),Q3(2,0)

②當(dāng)OQ=AQ時(shí),作OA的中垂線,交x軸于點(diǎn)Q2,

OQ2=,點(diǎn)Q2(,0)。

因此,在x軸上,除了N點(diǎn)外,既存在⊙P內(nèi)的點(diǎn)Q2,又存在⊙P外的點(diǎn)Q1、Q3,它們分別使△AOQ為等腰三角形。

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