Question

（2012•河北）如圖，點E是線段BC的中點，分別以BC為直角頂點的△EAB和△EDC均是等腰三角形，且在BC同側．
（1）AE和ED的數(shù)量關系為

AE=ED

；AE和ED的位置關系為

AE⊥ED

；
（2）在圖1中，以點E為位似中心，作△EGF與△EAB位似，點H是BC所在直線上的一點，連接GH，HD．分別得到圖2和圖3．
①在圖2中，點F在BE上，△EGF與△EAB的相似比1：2，H是EC的中點．求證：GH=HD，GH⊥HD．
②在圖3中，點F在的BE延長線上，△EGF與△EAB的相似比是k：1，若BC=2，請直接寫CH的長為多少時，恰好使GH=HD且GH⊥HD（用含k的代數(shù)式表示）．

Answer 1

分析：（1）利用等腰直角三角形的性質得出△ABE≌△DCE，進而得出AE=ED，AE⊥ED；
（2）①根據(jù)△EGF與△EAB的相似比1：2，得出EH=HC=

1

2

EC，進而得出△HGF≌△DHC，即可求出GH=HD，GH⊥HD；
②根據(jù)恰好使GH=HD且GH⊥HD時，得出△GFH≌△HCD，進而得出CH的長．

解答：解：（1）∵點E是線段BC的中點，分別BC以為直角頂點的△EAB和△EDC均是等腰三角形，
∴BE=EC=DC=AB，∠B=∠C=90°，
∴△ABE≌△DCE，
∴AE=DE，
∠AEB=∠DEC=45°，
∴∠AED=90°，
∴AE⊥ED．
故答案為：AE=ED，AE⊥ED；

（2）①由題意，∠B=∠C=90°，AB=BE=EC=DC，
∵△EGF與△EAB的相似比1：2，
∴∠GFE=∠B=90°，GF=

1

2

AB，EF=

1

2

EB，
∴∠GFE=∠C，
∴EH=HC=

1

2

EC，
∴GF=HC，F(xiàn)H=FE+EH=

1

2

EB+

1

2

EC=

1

2

BC=EC=CD，
∴△HGF≌△DHC．
∴GH=HD，∠GHF=∠HDC．
∵∠HDC+∠DHC=90°．
∴∠GHF+∠DHC=90°
∴∠GHD=90°．
∴GH⊥HD．

②根據(jù)題意得出：∵當GH=HD，GH⊥HD時，
∴∠FHG+∠DHC=90°，
∵∠FHG+∠FGH=90°，
∴∠FGH=∠DHC，
∴

DH=GH ∠FGH=∠DHC ∠DCH=∠GFH

，
∴△GFH≌△HCD，
∴CH=FG，
∵EF=FG，
∴EF=CH，
∵△EGF與△EAB的相似比是k：1，BC=2，
∴BE=EC=1，
∴EF=k，
∴CH的長為k．

點評：此題主要考查了位似圖形的性質和全等三角形的判定與性質，根據(jù)全等三角形的性質得出對應角與對應邊之間的關系是解題關鍵．