已知:如圖,⊙O與⊙A相交于C,D兩點,A,O分別是兩圓的圓心,△ABC內(nèi)接于⊙O,弦CD交AB于點G,交⊙O的直徑AE于點F,連接BD.
(1)求證:△ACG∽△DBG;
(2)求證:AC2=AG•AB;
(3)若⊙A,⊙O的直徑分別為,15,且CG:CD=1:4,求AB和BD的長.

【答案】分析:(1)由圓周角定理知,∠CAG=∠BDG,由對頂角的概念知,∠AGC=∠DGB,故△ACG∽△DBG;
(2)由連心線垂直于公共弦和垂徑定理知,弧AC=弧AD,由圓周角定理知∠ACG=∠ABC,而∠CAG=∠BAC,故△ACG∽△ABC.有,即AC2=AG•AB.
(3)連接CE,易得Rt△CFA∽Rt△ECA,則有,求得AE的值,由勾股定理求得CF的值后,由已知CG:CD=1:4,求得CG,DG的值,再在Rt△AFG中,由勾股定理求得AG的值,由2中的AC2=AG•AB,由1中的△ACG∽△DBG得到,代入對應(yīng)的邊的值,即可求得AB,BD的值.
解答:(1)證明:在△ACG和△DBG中,
∵∠CAG=∠BDG,∠AGC=∠DGB,
∴△ACG∽△DBG.

(2)證明:連接AD,則AC=AD.
在△ACG和△ABC中,
∵AC=AD,
∴∠ACG=∠ABC.
又∵∠CAG=∠BAC,
∴△ACG∽△ABC.
,即AC2=AG•AB.

(3)解:連接CE,則∠ACE=90°.
∵⊙O與⊙A相交于C,D兩點,
∴圓心O,A在弦CD的垂直平分線上,即AO垂直平分弦CD.
∴CF=DF,CF⊥AE且
∵⊙A,⊙O的直徑分別為,15,
∴AC=3,AE=15.
在Rt△CFA和Rt△ECA中,
∵∠ACF=∠ADC=∠AEC,
∴Rt△CFA∽Rt△ECA.
,即AF=
在Rt△AFC中,由勾股定理,得AC2=AF2+CF2,
即(32=32+CF2.解得CF=6(舍去負值).
∵CG:CD=1:4,且CD=2CF=12,
∴CG:DG=1:3,
∴CG=FG=12×=3,DG=12×=9.
在Rt△AFG中,由勾股定理,得AG2=AF2+FG2=32+32=18,
∴AG=3(舍去負值).
由(2),有AC2=AG•AB,即
解得AB=
由(1),有△ACG∽△DBG,得
∴BD=
點評:本題是圓內(nèi)的一道綜合題,利用了連心線與公共弦的關(guān)系,圓周角定理,垂徑定理,直徑對的圓周角是直角,中垂線的性質(zhì),勾股定理,相似三角形的判定和性質(zhì)求解.
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13
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5

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(2)若⊙O1半徑是⊙O2半徑的2倍,PD=10,AB=7
6
,求PC的長.

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