Question

【題目】已知點E是正方形ABCD內一點，連接AE，CE.

(1)如圖1，連接，過點作于點，若，，四邊形的面積為.

①證明:;

②求線段的長.

(2)如圖2，若，，，求線段，的長.

Answer 1

【答案】（1）①證明見解析；②AE=；（2）,.

【解析】

（1）①由正方形性質可得：AB＝BC，∠ABC＝90°，再證明△ABF≌△BCE（AAS）即可；②設AF＝BE＝m，由四邊形ABCE的面積＝△ABE面積＋△BCE面積，可列方程求出AF，然后利用勾股定理可得AE的長；

（2）過A作AF⊥CE于F，連接AC，由，可得，再由△AEF、△ABC均為等腰直角三角形及勾股定理即可求得AE和CE的長．

解：（1）①證明：∵ABCD是正方形，

∴AB＝BC，∠ABC＝90°

∴∠ABF＋∠CBE＝90°

∵AF⊥BE

∴∠AFB＝∠BEC＝90°

∴∠ABF＋∠BAF＝90°

∴∠BAF＝∠CBE

∴△ABF≌△BCE（AAS）

∴AF＝BE；

②∵△ABF≌△BCE（AAS）

∴BF＝CE＝2，設AF＝BE＝m，

∵四邊形ABCE的面積為．

∴S△BCE＋S△ABE＝，即×2m＋m2＝，

解得：m1＝5，m2＝7（舍），

∴AF＝BE＝5，EF＝3

∴AE＝；

（2）如圖2，過A作AF⊥CE于F，連接AC，則∠F＝90°，

∵∠AEC＝135°

∴∠AEF＝180°∠AEC＝45°＝∠EAF，

∴△AEF是等腰直角三角形，

∴AF＝EF＝AE，

∵，即：，

∴EF＋CE＝，即CF＝，

∵△ABC是等腰直角三角形，AB＝4

∴AC＝，

∴，

∴AE＝AF＝4，EF＝AF＝，

∴CE＝CFEF＝．