【題目】(2016山東濰坊第24題)如圖,在菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60°,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E,DF⊥BC于點(diǎn)F.

(1)如圖1,連接AC分別交DE、DF于點(diǎn)M、N,求證:MN=AC;

(2)如圖2,將△EDF以點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn),其兩邊DE′、DF′分別與直線AB、BC相交于點(diǎn)G、P,連接GP,當(dāng)△DGP的面積等于3時(shí),求旋轉(zhuǎn)角的大小并指明旋轉(zhuǎn)方向.

【答案】(1)詳見(jiàn)解析;(2)將△EDF以點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心,順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°時(shí),△DGP的面積等于3

【解析】

試題分析:(1)連接BD,易證△ABD為等邊三角形,等腰三角形的三線合一得到AE=EB,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可;(2)分∠EDF順時(shí)針旋轉(zhuǎn)和逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)兩種情況,根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)解答即可.

試題解析:(1)證明:如圖1,連接BD,交AC于O,

在菱形ABCD中,∠BAD=60°,AD=AB,

∴△ABD為等邊三角形,

∵DE⊥AB,

∴AE=EB,

∵AB∥DC,

==

同理, =

∴MN=AC;

(2)解:∵AB∥DC,∠BAD=60°,

∴∠ADC=120°,又∠ADE=∠CDF=30°,

∴∠EDF=60°,

當(dāng)∠EDF順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí),

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知,∠EDG=∠FDP,∠GDP=∠EDF=60°,

DE=DF=,∠DEG=∠DFP=90°,

在△DEG和△DFP中,

,

∴△DEG≌△DFP,

∴DG=DP,

∴△DGP為等邊三角形,

∴△DGP的面積=DG2=3,

解得,DG=2,

則cos∠EDG==,

∴∠EDG=60°,

∴當(dāng)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°時(shí),△DGP的面積等于3,

同理可得,當(dāng)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°時(shí),△DGP的面積也等于3,

綜上所述,將△EDF以點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心,順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°時(shí),△DGP的面積等于3

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